Baccalauréat septembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une commune possède deux clubs de sport que l'on note A et B.
Le club A est installé depuis 1990, le club B a ouvert ses portes au cours de l'année 2004.
Au premier janvier 2005, on constate que 1 100 personnes sont abonnées au club A et 400 au club B.
Le prix de l'abonnement est moins coûteux au club A ; les activités proposées sont plus nombreuses au club B. Aussi, chaque année, 14% des abonnés au club A changent pour le club B et 6% des abonnés au club B changent pour le club A.
On suppose que la population totale des abonnés reste constante et qu'une personne ne s'abonne jamais aux deux clubs en même temps.
On note $a_{n}$ le nombre d'abonnés au club A et $b_{n}$ le nombre d'abonnés au club B au premier janvier de l'année 2005 + n.
$E_{n}$ désigne la matrice ligne $(\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ ; ainsi $E_{0}$ désigne la matrice ligne $E_{0} = (\begin{matrix} a_{0} & b_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1100 & 400 \end{matrix})$ .

Traduire les données par un graphe probabiliste.
1. Écrire la matrice de transition M telle que $E_{n + 1} = E_{n} \times M$ .
  
  Définition :
  
  Étant donné un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n, sa matrice de transition est la matrice carrée M d'ordre n dont le coefficient $a_{i j}$ a pour valeur le poids de l'arête allant du sommet i au sommet j si cette arête existe, 0 sinon.
  
  En déduire $E_{n}$ en fonction de $E_{0}$ , M et n. On ne demande pas de démontrer le résultat.
  
  Propriété :
  
  Si M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste à k sommets, si $P_{0}$ est la matrice ligne décrivant l'état initial, et $P_{n}$ l'état probabiliste à l'étape n alors, $P_{n} = P_{0} M^{n}$ .
2. Calculer $M^{2}$ . En déduire le nombre d'abonnés aux deux clubs au premier janvier 2007.
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n + 1} = 0,8 \times a_{n} + 90$ .
  
  La population totale des abonnés reste constante et une personne ne s'abonne jamais aux deux clubs en même temps d'où, $a_{n} + b_{n} = 1500$ et la matrice représentant l'état à l'étape n + 1 est $E_{n + 1} = E_{n} \times M$ .
2. Pour n entier naturel, on pose : $u_{n} = a_{n} - 450$ . Démontrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique.
  
  Définition :
  
  Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n} = 650 \times {0,8}^{n} + 450$ .
  
  Propriété :
  
  Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_{0}$ alors, pour tout entier n : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ et, plus généralement, pour tout entier $n ⩾ p$ : $u_{n} = u_{p} u^{n - p}$ avec $p \in ℕ$ .
4. Déterminer la limite de $a_{n}$ quand n tend vers $+ \infty$ . Interpréter ce résultat pour les deux clubs sportifs.
  
  Théorème :
  
  Soit f une fonction définie sur $[0; + \infty [$ et $(u_{n})$ la suite définie sur $ℕ$ par $u_{n} = f (n)$ .
  Si la fonction f a une limite en $+ \infty$ , alors la suite $(u_{n})$ a une limite et, $\lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = \lim_{x \to + \infty} f (x)$ .

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