Baccalauréat septembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On suppose qu'un indice, calculé quotidiennement, n'évolue d'un jour à l'autre que de trois façons possibles soit il diminue de 10%, soit il est stable, soit il augmente de 10%. On note $i_{0} = 100$ l'indice de départ et $i_{n}$ l'indice au bout de n jours.

1. Si pendant dix jours consécutifs il y avait trois jours de hausse, puis quatre jours de stabilité, puis trois jours de baisse, quel serait, arrondi au centième, l'indice final $i_{10}$ ?
  
  Quelle serait l'évolution en pourcentage par rapport à $i_{0}$ ?
  
  Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 10% est égal à $1 + \frac{10}{100} = 1,1$ .
  Le coefficient multiplicateur associé à la stabilité d'une valeur égal à 1.
  Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 10% est égal à $1 - \frac{10}{100} = 0,9$ .
2. On suppose que l'indice augmente tous les jours. Montrer que la suite $(i_{n})$ des indices est une suite géométrique, dont on précisera le terme initial et la raison.
  
  Dans ce cas déterminer au bout de combien de jours cet indice dépassera la valeur 1 000.
  
  DÉFINITION :
  
  Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
  
  Propriété des suites géométriques :
  
  Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_{0}$ alors, pour tout entier n : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ et, plus généralement, pour tout entier $n ⩾ p$ : $u_{n} = u_{p} u^{n - p}$ avec $p \in ℕ$ .
Une étude a montré que, chaque jour, l'indice augmente de 10 % avec une probabilité égale à 0,3, diminue de 10% avec une probabilité égale à 0,2 et reste stable avec une probabilité égale à 0,5. L'évolution d'un jour à l'autre est indépendante de l'évolution des jours précédents.

On s'intéresse maintenant à l'évolution de cet indice sur deux jours. On note X la valeur de l'indice $i_{2}$ au bout de deux jours.
1. Construire un arbre de probabilités illustrant l'évolution de cet indice sur deux jours.
  
  Noter :
  - A l'évènement « l'indice augmente de 10% »
  - D l'évènement « l'indice diminue de 10% »
  - S l'évènement « l'indice reste stable »
2. Recopier et compléter le tableau suivant, donnant la loi de probabilité de X où les $x_{i}$ sont les valeurs possibles de X et $p_{i}$ la probabilité que X soit égale à $x_{i}$ .
  
  $x_{i}$ 81 90 100 110 121
  
  $p_{i}$ 0,2 0,12 0,25
3. Calculer l'espérance mathématique de X.
  
  DÉFINITION :
  
  Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_{i}$ . L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ : $μ = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i}$

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$x_{i}$	81	90		100	110	121
$p_{i}$		0,2	0,12	0,25