Baccalauréat septembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On suppose qu'un indice, calculé quotidiennement, n'évolue d'un jour à l'autre que de trois façons possibles soit il diminue de 10%, soit il est stable, soit il augmente de 10%. On note i0=100 l'indice de départ et in l'indice au bout de n jours.

    1. Si pendant dix jours consécutifs il y avait trois jours de hausse, puis quatre jours de stabilité, puis trois jours de baisse, quel serait, arrondi au centième, l'indice final i10 ?
      Quelle serait l'évolution en pourcentage par rapport à i0 ?

      Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 10% est égal à 1+10100=1,1.
      Donc, le coefficient multiplicateur associé à trois hausses de 10% est égal à (1,1)3

      Le coefficient multiplicateur associé à la stabilité d'une valeur égal à 1.
      Donc, le coefficient multiplicateur associé à quatre jours de stabilité est égal à 14.

      Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 10% est égal à 1-10100=0,9.
      Donc, le coefficient multiplicateur associé à trois baisses de 10% est égal à (0,9)3.

      Si pendant dix jours consécutifs il y avait trois jours de hausse, puis quatre jours de stabilité, puis trois jours de baisse, alors l'indice final i10 est :i10=100×(1,1)3×14×(0,9)3=97,029997,03

      Ce qui correspond à une évolution en pourcentage par rapport à i0=100 de 97,03-100=-2,97

      Ainsi, si pendant dix jours consécutifs il y avait trois jours de hausse, puis quatre jours de stabilité, puis trois jours de baisse, alors l'indice final arrondi au centième est 97,03. Soit une baisse de 2,97% par rapport à l'indice i0.


    2. On suppose que l'indice augmente tous les jours. Montrer que la suite (in) des indices est une suite géométrique, dont on précisera le terme initial et la raison.
      Dans ce cas déterminer au bout de combien de jours cet indice dépassera la valeur 1 000.

      Si d'un jour sur l'autre, l'indice augmente de 10% alors, l'expression de l'indice de rang n+1 en fonction de l'indice de rang n est : in+1=1,1×in

      Alors, d'après la définition d'une suite géométrique : Dire qu'une suite (un)n est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, un+1=q×un.

      La suite (in) des indices est une suite géométrique de raison q=1,1 et de terme initial i0=100.


      La suite (in) des indices est une suite géométrique de raison q=1,1 et de terme initial i0=100 alors, d'après la propriété des suites géométriques Si (un)n est une suite géométrique de raison q, de premier terme u0 alors, pour tout entier n : un=u0×qn et, plus généralement, pour tout entier np : un=upun-p avec p. , l'expression du terme de rang n en fonction de n est : in=100×1,1n

      Par conséquent, l'indice dépassera la valeur 1 000 pour le plus petit entier n solution de l'inéquation 100×1,1n>10001,1n>10ln(1,1n)>ln10La fonction ln est strictement croissanten×ln1,1>ln10n>ln10ln1,1

      Or ln10ln1,124,159. Donc :

      Cet indice dépassera la valeur 1 000 au bout de 25 jours.


  1. Une étude a montré que, chaque jour, l'indice augmente de 10 % avec une probabilité égale à 0,3, diminue de 10% avec une probabilité égale à 0,2 et reste stable avec une probabilité égale à 0,5. L'évolution d'un jour à l'autre est indépendante de l'évolution des jours précédents.
    On s'intéresse maintenant à l'évolution de cet indice sur deux jours. On note X la valeur de l'indice i2 au bout de deux jours.

    1. Construire un arbre de probabilités illustrant l'évolution de cet indice sur deux jours.

      Notons :
      - A l'évènement « l'indice augmente de 10% »
      - D l'évènement « l'indice diminue de 10% »
      - S l'évènement « l'indice reste stable »

      L'évolution d'un jour à l'autre est indépendante de l'évolution des jours précédents alors, les évènements A, D et S sont indépendants. On considère deux événements A et B de probabilités non nulles.
      Les événements A et B sont indépendants lorsque la probabilité de l'un ne dépend pas de la réalisation de l'autre. C'est à dire : pA(B)=p(B)oupB(A)=p(A)

      D'où l'arbre de probabilités illustrant l'évolution de l'indice sur deux jours :

      Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2. Recopier et compléter le tableau suivant, donnant la loi de probabilité de X où les xi sont les valeurs possibles de X et pi la probabilité que X soit égale à xi.

      L'indice i2=81 correspond à deux diminutions successives :p(DD)=p(D)×p(D) Évènements indépendants =0,2×0,2=0,04

      Donc p(X=81)=0,04


      L'indice i2=99 correspond à une augmentation suivie d'une diminution ou à une diminution suivie d'une augmentation : p(AD)+p(DA)=p(A)×p(D)+p(D)×p(A)=0,3×0,2+0,2×0,3=0,12

      Donc p(X=99)=0,12


      L'indice i2=110 correspond à une augmentation suivie de la stabilité ou à la stabilité suivie d'une augmentation : p(AS)+p(SA)=p(A)×p(S)+p(S)×p(A)=0,3×0,5+0,5×0,3=0,3

      Donc p(X=110)=0,3


      L'indice i2=121 correspond à deux augmentations successives : p(AA)=p(A)×p(A)=0,3×0,3=0,09

      Donc p(X=121)=0,09


      D'où le tableau donnant la loi de probabilité de X

      xi 81 90 99 100 110 121
      pi 0,04 0,2 0,12 0,25 0,3 0,09

    3. Calculer l'espérance mathématique de X.

      L'espérance mathématique μ de la loi de probabilité de X est d'après la définition : Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques xi. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :μ=x1p1+x2p2++xnpn=i=1nxipi

      μ=81×0,04+90×0,2+99×0,12+100×0,25+110×0,3+121×0,09=102,01

      L'espérance mathématique de X est égale à 102,01.



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