sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On a étudié l'évolution du taux d'alcoolémie dans le sang d'une certaine personne (exprimé en grammes d'alcool par litre de sang) pendant les cinq heures suivant l'absorption d'une certaine quantité d'alcool. On donne ci-dessous, la courbe $C_1$ représentant le taux d'alcoolémie lorsque l'alcool est absorbé à jeun (graphique №  1) et la courbe $C_2$ représentant le taux d'alcoolémie lorsque l'alcool est absorbé après ingestion d'aliments (graphique №  2).

partie a : Observation graphique

Graphique № 1 : courbe $C_1$

Graphique № 2 : courbe $C_2$

À l'aide des deux graphiques précédents, répondre aux questions suivantes :

1. Dans chacun des deux cas, donner une approximation du taux d'alcoolémie maximal et du temps au bout duquel il est atteint.

   Par lecture graphique :
   - À jeun, le taux d'alcoolémie maximal est de 1,5 g/L atteint au bout d'une heure.
   - Après ingestion d'aliments, le taux d'alcoolémie maximal est de 0,5 g/L atteint au bout d'une heure et demie.

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2. Depuis le 15 septembre 1995, le taux maximum d'alcoolémie autorisé au volant est 0,5 g/L. Dans chacun des deux cas, indiquer si la personne aura respecté la législation en prenant le volant au bout de trois heures.

   Par lecture graphique :
   - À jeun, le taux d'alcoolémie au bout de trois heures est de 0,6 g/L.
   - Après ingestion d'aliments, le taux d'alcoolémie au bout de trois heures est de 0,4 g/L.

   Seule la personne qui a absorbé de l'alcool après ingestion d'aliments, respecte la législation en prenant le volant au bout de trois heures.

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partie b : Modélisation

1. On désigne par $f_2\prime$ la fonction dérivée de $f_2$ sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.
   Déterminer $f_2\prime \left(t\right)$.
   On admet que $f_2\prime \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0$. En déduire le réel b.

   $f_2\left(t\right)=at{\mathrm{e}}^{b\mathrm{t}}$, posons pour $t\in \left[0;5\right]$ : $\begin{array}{ccc}u\left(t\right)=at& \text{et}& v\left(t\right)={\mathrm{e}}^{b\mathrm{t}}\end{array}$ alors $f_2=uv$, donc $f_2\prime =u\prime v+uv\prime$.

   Soit : $$\begin{array}{lll}{f}_2\prime \left(t\right)& =& a\times {\mathrm{e}}^{b\mathrm{t}}+at\times \left(b{\mathrm{e}}^{b\mathrm{t}}\right)\\ & =& a{\mathrm{e}}^{b\mathrm{t}}\times \left(1+bt\right)\end{array}$$

   $f_2\prime \left(t\right)=a{\mathrm{e}}^{b\mathrm{t}}\times \left(1+bt\right)$.

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   $$\begin{array}{llll}{f}_2\prime \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0& \iff & a{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}\times b}\times \left(1+{\displaystyle \frac{3}{2}}\times b\right)=0& \\ & \iff & a=0\text{ ou }\left(1+{\displaystyle \frac{3}{2}}\times b\right)=0& \left(\text{Pour tout réel }x\text{, }{\mathrm{e}}^x>0\right)\end{array}$$

   Or la fonction $f_2$ n'est pas identiquement nulle donc $a\ne 0$ et $\begin{array}{ccc}1+{\displaystyle \frac{3}{2}}\times b=0& \iff & b=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$

   Si $f_2\prime \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0$ alors $b=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

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2. En utilisant le taux d'alcoolémie au bout de trois heures, déterminer une valeur approchée de a et en donner la valeur décimale arrondie à 0,1.

   D'après la question précédente, $b=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ donc $f_2$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $f_2\left(t\right)=at{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}$

   Or par lecture graphique, $$\begin{array}{lll}{f}_2\left(3\right)=\mathrm{0,4}& \iff & 3a{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times 3}=\mathrm{0,4}\\ & \iff & 3a{\mathrm{e}}^{-2}=\mathrm{0,4}\\ & \iff & a={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}{\mathrm{e}}^2}{3}}\end{array}$$

   ${\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}{\mathrm{e}}^2}{3}}\approx \mathrm{0,985}$ donc :

   L'arrondi à 0,1 près de a est 1 d'où $f_2\left(t\right)=t{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}$.

   ---

3. Résoudre l'équation $f_1\left(t\right)=t{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}$. Interpréter le résultat.

   $$\begin{array}{lll}{f}_1\left(t\right)=t{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}& \iff & 4t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}=t{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}\\ & \iff & t\left(4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}-{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}\right)=0\\ & \iff & t=0\text{ ou }4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}-{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}=0\end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation $4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}-{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}=0$ : $$\begin{array}{llll}4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}-{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}=0& \iff & 4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}={\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}& \\ & \iff & \ln \left(4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}\right)& \\ & \iff & \ln \left(4\right)+\ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}\right)& \text{Pour tous réels }a\text{ et }b\text{ strictement positfs, }\ln \left(a\times b\right)=\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)\\ & \iff & \ln \left(4\right)-\mathrm{t}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}t& \text{Pour tout réel }x\text{, }\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=x\\ & \iff & t=3\ln \left(4\right)& \end{array}$$

   L'équation $f_1\left(t\right)=t{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}t}$ admet deux solutions $t=0$ ou $t=3\ln \left(4\right)$.
   Dans les deux cas le taux d'alcoolémie initial est égal.
   Après absorption d'alcool, le taux d'alcoolémie à jeun est égal au taux d'alcoolémie après ingestion d'aliments au bout de $t=3\ln \left(4\right)$ heures. Soit arrondi à 0,1 près au bout de 4,2 heures.

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