sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Représenter graphiquement le nuage de points de la série $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 200 euros en abscisses et 5 cm pour 100 entreprises en ordonnées).
   Placer le point moyen G après avoir déterminé ses coordonnées.

   Les coordonnées du point moyen sont : $$\begin{array}{ccc}{x}_G={\displaystyle \frac{30+25+20+15+10}{5}}=20& \text{et}& y_G={\displaystyle \frac{90+120+170+200+260}{5}}=168\end{array}$$

   Le point moyen G a pour coordonnées $G\left(20;168\right)$

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2. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite D d'ajustement affine de y en x sous la forme $y=ax+b$.
   Aucun détail des calculs n'est demandé, les résultats ne seront pas arrondis.
   Tracer D sur le graphique précédent.

   Une équation de la droite de régression D de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à la calculatrice est : $y=-\mathrm{8,4}x+336$

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3. En utilisant l'ajustement précédent, préciser pour quel prix de vente la société INFOLOG peut espérer que les 300 entreprises contactées acceptent d'acquérir ce logiciel.

   À partir de l'ajustement précédent, on peut estimer que les 300 entreprises acceptent d'acquérir ce logiciel pour un prix de vente x solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}-\mathrm{8,4}x+336=300& \iff & x={\displaystyle \frac{30}{7}}\end{array}$$

   Soit $x\approx \mathrm{4,28}$

   La société INFOLOG peut espérer que les 300 entreprises contactées acceptent d'acquérir ce logiciel pour un prix de vente de 428 €.

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4. On note $R\left(x\right)$ la recette, exprimée en centaines d'euros, dégagée par la vente de y logiciels au prix de x centaines d'euros.

   1. En utilisant la relation entre y et x obtenue à la question 2, donner l'expression de $R\left(x\right)$ pour x variant entre 5 et 30.

      La recette, exprimée en centaines d'euros, dégagée par la vente de y logiciels au prix de x centaines d'euros est $R\left(x\right)=y\times x$.

      Soit en utilisant l'ajustement précédent : $R\left(x\right)=\left(-\mathrm{8,4}x+336\right)\times x$

      Ainsi, $R\left(x\right)=-\mathrm{8,4}{x}^2+336x$.

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   2. Étudier les variations de la fonction R sur $\left[5;30\right]$ et en déduire le prix de vente du logiciel, exprimé en euros, pour que la recette $R\left(x\right)$ soit maximale. Déterminer alors le montant de cette recette ainsi que le nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix.

      La fonction R est la restriction à l'intervalle $\left[5;30\right]$ d'une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du monôme de plus haut degré -8,4 est négatif.

      D'autre part, ${\displaystyle \frac{336}{-2\times \left(-\mathrm{8,4}\right)}}=20$ et $R\left(20\right)=-\mathrm{8,4}\times {20}^2+336\times 20=3360$

      D'où les variations de la fonction R.

      x	5		20		30
      Variations de R	1470		3360		2520

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      La recette maximale est de 336 000 € pour un prix de vente du logiciel de 2 000 €.
      Le nombre d'entreprises susceptibles d'acheter ce logiciel à ce prix est estimé à 168 (ou à 170 si on considère le résultat de l'enquête).

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