Baccalauréat septembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Polynésie

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez la réponse exacte sans justifier votre choix.

Barème : À chaque question est attribué un certain nombre de points. Une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points attribué. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -210 et la fonction composée g=lnf. Sur la figure ci-dessous, le plan est muni d'un repère orthonormal (O;ı,ȷ)
La courbe Cf est la courbe représentative de f .
Les points A-10, B02,5, C24,38, D60, E8-1,35 et F100 sont des points de Cf.
La droite 𝒟 est la tangente à Cf au point B.
Les tangentes à Cf aux points C et E sont parallèles à l'axe des abscisses.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Quelle est la valeur de f0 nombre dérivé de f en 0?

    1. a. f0=2,5 ;
    2. b. f0=2 ;
    3. c. f0=0,5.
  2. Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation fx=0?

    1. a. S= ;
    2. b. S=-1610 ;
    3. c. S=28.
  3. À quel intervalle appartient le réel I=-15ftdt?

    1. a. I-15 ;
    2. b. I04,38 ;
    3. c. I1530.
  4. Quel est l'ensemble de définition de la fonction g, noté Dg?

    1. a. Dg=-16 ;
    2. b. Dg=010 ;
    3. c. Dg=-210.
  5. Quelle est la valeur de g0?

    1. a. g0=2,5 ;
    2. b. g0=0 ;
    3. c. g0=ln2,5.
  6. Quelle est la valeur du coefficient directeur m de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 0?

    1. a. m=2 ;
    2. b. m=12 ;
    3. c. m=0,8.
  7. Quel est l'ensemble S ' des solutions de l'équation gx=0?

    1. a. S= ;
    2. b. S=-1610 ;
    3. c. S=2.
  8. Quelle est la limite de gx quand x tend vers -1 ?

    1. a. limx-1gx=0 ;
    2. b. limx-1gx=- ;
    3. c. limx-1gx=+.

Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On suppose qu'un indice, calculé quotidiennement, n'évolue d'un jour à l'autre que de trois façons possibles soit il diminue de 10%, soit il est stable, soit il augmente de 10%. On note i0=100 l'indice de départ et in l'indice au bout de n jours.

    1. Si pendant dix jours consécutifs il y avait trois jours de hausse, puis quatre jours de stabilité, puis trois jours de baisse, quel serait, arrondi au centième, l'indice final i10 ?

      Quelle serait l'évolution en pourcentage par rapport à i0 ?

    2. On suppose que l'indice augmente tous les jours. Montrer que la suite in des indices est une suite géométrique, dont on précisera le terme initial et la raison.

      Dans ce cas déterminer au bout de combien de jours cet indice dépassera la valeur 1 000.

  1. Une étude a montré que, chaque jour, l'indice augmente de 10 % avec une probabilité égale à 0,3, diminue de 10% avec une probabilité égale à 0,2 et reste stable avec une probabilité égale à 0,5. L'évolution d'un jour à l'autre est indépendante de l'évolution des jours précédents.

    On s'intéresse maintenant à l'évolution de cet indice sur deux jours. On note X la valeur de l'indice i2 au bout de deux jours.

    1. Construire un arbre de probabilités illustrant l'évolution de cet indice sur deux jours.

    2. Recopier et compléter le tableau suivant, donnant la loi de probabilité de X où les xi sont les valeurs possibles de X et pi la probabilité que X soit égale à xi.

      xi 81 90   100 110 121
      pi   0,2 0,12 0,25    
    3. Calculer l'espérance mathématique de X.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une commune possède deux clubs de sport que l'on note A et B.
Le club A est installé depuis 1990, le club B a ouvert ses portes au cours de l'année 2004.
Au premier janvier 2005, on constate que 1 100 personnes sont abonnées au club A et 400 au club B.
Le prix de l'abonnement est moins coûteux au club A ; les activités proposées sont plus nombreuses au club B. Aussi, chaque année, 14% des abonnés au club A changent pour le club B et 6% des abonnés au club B changent pour le club A.
On suppose que la population totale des abonnés reste constante et qu'une personne ne s'abonne jamais aux deux clubs en même temps.
On note an le nombre d'abonnés au club A et bn le nombre d'abonnés au club B au premier janvier de l'année 2005 + n.
En désigne la matrice ligne anbn; ainsi E0 désigne la matrice ligne E0=a0b0=1100400.

  1. Traduire les données par un graphe probabiliste.

    1. Écrire la matrice de transition M telle que En+1=En×M.

      En déduire En en fonction de E0, M et n. On ne demande pas de démontrer le résultat.

    2. Calculer M2. En déduire le nombre d'abonnés aux deux clubs au premier janvier 2007.

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : an+1=0,8×an+90.

    2. Pour n entier naturel, on pose : un=an-450. Démontrer que la suite un est géométrique.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : an=650×0,8n+450.

    4. Déterminer la limite de an quand n tend vers + ∞. Interpréter ce résultat pour les deux clubs sportifs.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

La société INFOLOG a mis au point un nouveau logiciel de gestion destiné aux PME. Cette société a mené une enquête dans une région auprès de 300 entreprises équipées d'ordinateurs aptes à recevoir ce logiciel, ceci afin de déterminer à quel prix chacune de ces entreprises accepterait d'acquérir un exemplaire de ce nouveau logiciel. Elle a obtenu les résultats suivants :

x prix proposé pour le nouveau
logiciel en centaines d'euros

y nombre d'entreprises disposées
à acheter le logiciel à ce prix

30 90
25 120
20 170
15 200
10 260
  1. Représenter graphiquement le nuage de points de la série xiyi dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 200 euros en abscisses et 5 cm pour 100 entreprises en ordonnées).
    Placer le point moyen G après avoir déterminé ses coordonnées.

  2. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite D d'ajustement affine de y en x sous la forme y=ax+b.
    Aucun détail des calculs n'est demandé, les résultats ne seront pas arrondis.
    Tracer D sur le graphique précédent.

  3. En utilisant l'ajustement précédent, préciser pour quel prix de vente la société INFOLOG peut espérer que les 300 entreprises contactées acceptent d'acquérir ce logiciel.

  4. On note Rx la recette, exprimée en centaines d'euros, dégagée par la vente de y logiciels au prix de x centaines d'euros.

    1. En utilisant la relation entre y et x obtenue à la question 2, donner l'expression de Rx pour x variant entre 5 et 30.

    2. Étudier les variations de la fonction R sur 530 et en déduire le prix de vente du logiciel, exprimé en euros, pour que la recette Rx soit maximale. Déterminer alors le montant de cette recette ainsi que le nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

On a étudié l'évolution du taux d'alcoolémie dans le sang d'une certaine personne (exprimé en grammes d'alcool par litre de sang) pendant les cinq heures suivant l'absorption d'une certaine quantité d'alcool. On donne ci-dessous, la courbe C1 représentant le taux d'alcoolémie lorsque l'alcool est absorbé à jeun (graphique №  1) et la courbe C2 représentant le taux d'alcoolémie lorsque l'alcool est absorbé après ingestion d'aliments (graphique №  2).

Graphique № 1 : courbe C1

Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Graphique № 2 : courbe C2

Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a : Observation graphique

À l'aide des deux graphiques précédents, répondre aux questions suivantes :

  1. Dans chacun des deux cas, donner une approximation du taux d'alcoolémie maximal et du temps au bout duquel il est atteint.

  2. Depuis le 15 septembre 1995, le taux maximum d'alcoolémie autorisé au volant est 0,5 g/L. Dans chacun des deux cas, indiquer si la personne aura respecté la législation en prenant le volant au bout de trois heures.

partie b : Modélisation

On suppose que le taux d'alcoolémie (exprimé en g/L) pendant les cinq heures suivant l'absorption est modélisé en fonction du temps (exprimé en heures) :
- par une fonction f1 lorsque l'alcool est absorbé à jeun,
- par une fonction f2 lorsque l'alcool est absorbé après ingestion d'aliments.

On admet que :
- les courbes C1 et C2 de la première partie sont les représentations graphiques respectives des fonctions f1 et f2 ;
- la fonction f1 est définie sur l'intervalle 05 par f1t=4te-t.
- la fonction f2 est définie sur l'intervalle 05 par f2t=atebt.

  1. On désigne par f2 la fonction dérivée de f2 sur l'intervalle 05.

    Déterminer f2t.

    On admet que f232=0. En déduire le réel b.

  2. En utilisant le taux d'alcoolémie au bout de trois heures, déterminer une valeur approchée de a et en donner la valeur décimale arrondie à 0,1.

  3. Résoudre l'équation f1t=te-23t. Interpréter le résultat.



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✉ A.Yallouz

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