Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne l'évolution de la vente de pots de plantes vertes en milliers de pots en France, de 1999 à 2004.

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang $x_{i}$ de l'année	1	2	3	4	5	6
Nombre $y_{i}$ de pots de plantes (en milliers de pots)	5702	5490	5400	5319	5200	5180

Pour ce nuage de points, un ajustement affine ne semble pas adapté. On cherche alors un ajustement exponentiel.

On pose $z_{i} = \ln y_{i}$
1. Calculer les valeurs $z_{i}$ du tableau associées aux rangs $x_{i}$ , en arrondissant au centième et pour i variant de 1 à 6.
  
  Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
  
  Rang $x_{i}$ de l'année 1 2 3 4 5 6
  
  Nombre $y_{i}$ de pots de plantes (en milliers de pots) 5702 5490 5400 5319 5200 5180
  
  $z_{i} = \ln y_{i}$ 8,65 8,61 8,59 8,58 8,56 8,55
2. Construire, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points $N_{i} (x_{i}; z_{i})$ , dans le repère orthogonal défini de la manière suivante :
  - sur l'axe des abscisses, on place 0 à l'origine et on prend 2 cm pour représenter 1 année
  - sur l'axe des ordonnées, on place 8,50 à l'origine et on prend 1 cm pour représenter 0,01.
1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (on ne demande pas le détail des calculs). Les coefficients seront arrondis au centième.
  
  Une équation de la droite d d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés est : $z = (- 0,0188...) x + 8,656$ .
  
  Avec un arrondi au centième des coefficients, la droite d a pour équation $z = - 0,02 x + 8,66$ .
2. Tracer la droite d dans le repère précédemment défini.
  
  Voir le dessin
3. Déterminer la relation entre y et x, sous la forme $y = A e^{B x}$ , qui traduit l'équation de la droite d'ajustement d. Le nombre A est arrondi à l'unité et le nombre B arrondi au centième.
  
  $z = \ln (y)$ et $z = - 0,02 x + 8,66$ alors
  
  $\begin{array}{l} \ln (y) = - 0,02 x + 8,66 & \Leftrightarrow & y = e^{- 0,02 x + 8,66} \\ \Leftrightarrow & y = e^{- 0,02 x} \times e^{8,66} \end{array}$
  
  Or $e^{8,66} \approx 5767,53$ d'où en posant $A = 5768$
  
  L'ajustement exponentiel du nuage de points proposé est $y = 5768 e^{- 0,02 x}$ .
1. On suppose que l'évolution de la vente reste conforme à l'ajustement calculé à la question 2. Donner alors une estimation du nombre de pots qu'on peut espérer vendre en 2006, exprimé en milliers de pots (résultat arrondi à l'unité).
  
  Le rang associé à l'année 2006 est 8 et $5768 \times e^{- 0,02 \times 8} \approx 4915,17$
  
  En 2006, avec cet ajustement, on peut espérer vendre 4 915 milliers de pots.
2. Une étude concurrente donne une estimation pour 2006 de 5085 milliers de pots vendus. Calculer la différence entre les deux estimations. Quel pourcentage cette différence représente-t-elle par rapport à la première estimation ? (on donnera une valeur approchée arrondie au centième de ce résultat).
  
  Entre les deux estimations, il y a une différence de $5085 - 4915 = 170$ milliers de pots.
  
  et $\frac{170}{4915} \approx 0,034588$ .
  
  Avec la deuxième estimation la prévision des ventes est en augmentation de 3,46% par rapport à la première estimation.

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