sujet : La Réunion

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte. On portera la réponse dans le tableau prévu en annexe.
Barème : une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève de point.
Si le total de point est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

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1. L'expression $f\left(x\right)=x\left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)+1$ peut aussi s'exprimer ainsi :

   Pour tout réel x, $$x\left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)+1=x+x{\mathrm{e}}^{-x}+1$$

   Les réponses b et c sont fausses. D'autre part, pour tout réel x, $$\begin{array}{llll}\ln \mathrm{e}+{\mathrm{e}}^{-x}\left(x+x{\mathrm{e}}^x\right)& =& 1+x{\mathrm{e}}^{-x}+x{\mathrm{e}}^{-x}\times {\mathrm{e}}^x& \text{Car }\ln \mathrm{e}=1\\ & =& 1+x{\mathrm{e}}^{-x}+x{\mathrm{e}}^{x-x}& \text{Pour tout réels }a\text{ et }b\text{, }{\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^b={\mathrm{e}}^{a+b}\\ & =& 1+x{\mathrm{e}}^{-x}+x& \text{Car }{\mathrm{e}}^0=1\end{array}$$

   Donc la réponse exacte est la réponse a.

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   1. $f\left(x\right)=\ln \mathrm{e}+{\mathrm{e}}^{-x}\left(x+x{\mathrm{e}}^x\right)$

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   2. $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-x}$

   3. $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-x}+1+{\mathrm{e}}^x$

2. Deux fonctions u et g sont connues par leurs tableaux de variations.

   x	$-\infty$	$-1$	3		$+\infty$
   $u\left(x\right)$	4		$-1$		$+\infty$

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   x	$-\infty$		$-2$		2		$+\infty$
   $g\left(x\right)$	$-\infty$		0		$-1$		$+\infty$

   On a alors :

   $u\left(-1\right)=2$ et $g\left(2\right)=-1$ alors $g[u\left(-1\right)]=-1$. Donc la réponse exacte est la réponse a.

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   1. $g[u\left(-1\right)]=-1$

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   2. $g[u\left(-2\right)]=-2$

   3. $g[u\left(-1\right)]=-2$

3. En considérant les fonctions u et g précédentes, on a :

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }u\left(x\right)=4$ or, le tableau de variation de la fonction g ne permet pas de déterminer $\underset{x\to 4}{\lim }g\left(x\right)$ donc nous ne pouvons pas déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }g[u\left(x\right)]$ à partir des deux tableaux de variations.

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }g[u\left(x\right)]=+\infty$

   La réponse exacte est la réponse c.

   1. $\underset{x\to -\infty }{\lim }g[u\left(x\right)]=4$

   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }g[u\left(x\right)]=-\infty$

   3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }g[u\left(x\right)]=+\infty$

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4. En considérant la fonction g de la question 2, l'équation $g\left(x\right)=3$ admet :

   D'après le tableau de variations de la fonction g :

   • sur l'intervalle $]-\infty ;2]$ la fonction g admet pour maximum 0.
     C'est à dire que pour tout $x\in ]-\infty ;2]\text{, }g\left(x\right)⩽0$.

   • sur l'intervalle $[2;+\infty [$ la fonction g est continue, strictement croissante et pour tout $x⩾2\text{, }g\left(x\right)⩾-1$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire : Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

     Il existe un unique nombre réel $\alpha \in [2;+\infty [$ tel que $g\left(\alpha \right)=3$.

   Donc la réponse exacte est la réponse b.

   1. exactement une solution sur $[-4;2]$

   2. exactement une solution sur $[-3;+\infty [$

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   3. exactement une solution sur $]-\infty ;-2]$

5. Dire que la droite d'équation  $y=x-1$ est asymptote oblique en $+\infty$ à la courbe représentative d'une fonction f dans un repère du plan, revient à dire que :

   Par définition, dire que la droite d'équation   $y=x-1$ est asymptote en $+\infty$ à la courbe représentative d'une fonction f dans un repère du plan signifie que $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f\left(x\right)-\left(x-1\right)]=0$

   Donc la réponse exacte est la réponse c.

   1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$

   2. $\underset{x\to 0}{\lim }[f\left(x\right)-\left(x-1\right)]=+\infty$

   3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f\left(x\right)-\left(x-1\right)]=0$

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6. La fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x^2+1}$ est :

   $g={\mathrm{e}}^u$ d'où $g\prime =u\prime {\mathrm{e}}^u$ avec pour tout réel x, $u\left(x\right)=-x^2+1$ et $u\prime \left(x\right)=-2x$. Donc $g\prime \left(x\right)=-2x{\mathrm{e}}^{-x^2+1}$

   g est donc une primitive de la fonction qui à x associe : $-2x{\mathrm{e}}^{1-x^2}$

   La réponse exacte est la réponse b.

   1. une primitive de la fonction qui à x associe : $-x{\mathrm{e}}^{\mathrm{}-x^2+1}$

   2. une primitive de la fonction qui à x associe : $-2x{\mathrm{e}}^{1-x^2}$

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   3. la dérivée de la fonction qui à x associe : $-2x{\mathrm{e}}^{1-x^2}$

7. Une fonction f est connue par son tableau de variations :

   x	$-\infty$		3		5		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$	$-\infty$		1 + e		1		$+\infty$

   Soit F une primitive de la fonction f sur $ℝ$. On peut affirmer que :

   F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$ alors, pour tout réel x$F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Or sur l'intervalle $[3;5]$, $1⩽f\left(x\right)⩽1+\mathrm{e}$ d'où $f>0$ sur $[3;5]$ alors, F est croissante sur $[3;5]$.

   Donc la réponse exacte est la réponse c.

   1. F est croissante sur $]-\infty ;3]$

   2. $F\prime$ est est positive sur $ℝ$

   3. F est croissante sur $[3;5]$

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8. La fonction f définie sur $ℝ-\left\{4\right\}$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-3x+1}{x-4}}$ a pour représentation graphique la courbe C, dans un repère donné.
   On peut dire alors que :

   Les réponses b et c sont manifestement fausses. D'autre part, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-\left(x+1\right)& =& {\displaystyle \frac{x^2-3x+1}{x-4}}-\left(x+1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2-3x+1-\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x-4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{x-4}}\end{array}$$

   Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }x-4=+\infty$ et $\underset{u\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{5}{u}}=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{5}{x-4}}=0$.

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f\left(x\right)-\left(x-1\right)]=0$ donc la droite d'équation $y=x+1$ est asymptote à C en $+\infty$.

   Donc la réponse exacte est la réponse a.

   1. la droite d'équation $y=x+1$ est asymptote oblique à C en $+\infty$.

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   2. la droite d'équation $x=-4$ est asymptote verticale à C.

   3. la droite d'équation $x=4$ est asymptote horizontale à C en $+\infty$.

9. Pour toute fonction f continue et positive sur $[-1;1]$, si $C_f$ est la courbe représentative de f dans un repère donné du plan, alors ${\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est :

   La réponse exacte est la réponse b , d'après la propriété établissant le lien entre intégrale et aire. Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
   Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

   1. la valeur moyenne de f sur $[-1;1]$.

   2. l'aire, en unités d'aire, du domaine sous la courbe $C_f$, entre les droites d'équations $x=-1$ et $x=1$.

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   3. égale à $f\left(1\right)-f\left(-1\right)$.

10. a et b étant deux nombres réels strictement positifs, $\ln \left(a+b\right)$ est égale à :

    Les réponses a et c sont manifestement fausses. D'autre part, $$\begin{array}{llll}\ln a+\ln \left({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}\right)+\ln b& =& \ln a+\ln \left({\displaystyle \frac{a+b}{ab}}\right)+\ln b& \\ & =& \ln a+\ln \left(a+b\right)-\ln \left(ab\right)+\ln b& \text{Pour tout réels }a\text{ et }b\text{ strictement positifs, }\ln {\displaystyle \frac{a}{b}}=\ln a-\ln b\\ & =& \ln a+\ln \left(a+b\right)-\left(\ln a+\ln b\right)+\ln b& \text{Pour tout réels }a\text{ et }b\text{ strictement positifs, }\ln ab=\ln a+\ln b\\ & =& \ln \left(a+b\right)& \end{array}$$

    1. $\left(\ln a\right)\times \left(\ln b\right)$

    2. $\ln a+\ln \left({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}\right)+\ln b$

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    3. $\ln a+\ln b$

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