sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne l'évolution de la vente de pots de plantes vertes en milliers de pots en France, de 1999 à 2004.

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang $x_i$ de l'année	1	2	3	4	5	6
Nombre $y_i$ de pots de plantes (en milliers de pots)	5702	5490	5400	5319	5200	5180

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Pour ce nuage de points, un ajustement affine ne semble pas adapté. On cherche alors un ajustement exponentiel.

1. On pose $z_i=\ln y_i$

   1. Calculer les valeurs $z_i$ du tableau associées aux rangs $x_i$, en arrondissant au centième et pour i variant de 1 à 6. On portera ces valeurs dans le tableau ci-dessous .

      Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004
      Rang $x_i$ de l'année	1	2	3	4	5	6
      Nombre $y_i$ de pots de plantes (en milliers de pots)	5702	5490	5400	5319	5200	5180
      $z_i=\ln y_i$

   2. Construire, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points $N_i\left(x_i;z_i\right)$, dans le repère orthogonal défini de la manière suivante :
      - sur l'axe des abscisses, on place 0 à l'origine et on prend 2 cm pour représenter 1 année
      - sur l'axe des ordonnées, on place 8,50 à l'origine et on prend 1 cm pour représenter 0,01.

2. 1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (on ne demande pas le détail des calculs). Les coefficients seront arrondis au centième.

   2. Tracer la droite d dans le repère précédemment défini.

   3. Déterminer la relation entre y et x, sous la forme $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$, qui traduit l'équation de la droite d'ajustement d. Le nombre A est arrondi à l'unité et le nombre B arrondi au centième.

      Si $\ln \left(y\right)=ax+b$ alors, $y={\mathrm{e}}^{ax+b}$.

3. 1. On suppose que l'évolution de la vente reste conforme à l'ajustement calculé à la question 2. Donner alors une estimation du nombre de pots qu'on peut espérer vendre en 2006, exprimé en milliers de pots (résultat arrondi à l'unité) .

   2. Une étude concurrente donne une estimation pour 2006 de 5085 milliers de pots vendus. Calculer la différence entre les deux estimations. Quel pourcentage cette différence représente-t-elle par rapport à la première estimation ? (on donnera une valeur approchée arrondie au centième de ce résultat).

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