sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormal, la courbe représentative Γ d'une fonction g définie et dérivable sur $ℝ$. La courbe Γ passe par les points $\mathrm{O}\left(0;0\right)$ et $A\left(2;2\right)$.
La droite (AB) est la tangente en A à la courbe Γ. La tangente à Γ au point C d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

1. Déterminer graphiquement les valeurs de $g\left(0\right)\text{, }g\left(2\right)\text{, }g\prime \left(1\right)\text{, }g\prime \left(2\right)$.

   • La courbe Γ passe par les points $\mathrm{O}\left(0;0\right)$ et $A\left(2;2\right)$ alors $g\left(0\right)=0\text{ et }g\left(2\right)=2$.

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   • La tangente à Γ au point C d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses alors $g\prime \left(1\right)=0$.

     ---

   • La droite (AB) est la tangente en A à la courbe Γ et le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à - 1 donc $g\prime \left(2\right)=-1$.

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2. Une des représentations graphiques présentées sur l'annexe 2 ci-dessous, représente la fonction dérivée $g\prime$ de g et une autre représente une primitive G de g sur $ℝ$.

   ANNEXE 2

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3	Courbe 4

   Déterminer la courbe associée à la fonction $g\prime$ et celle associée à G ; vous justifierez votre choix à l'aide d'arguments basés sur l'examen des représentations graphiques.

   $g\prime \left(1\right)=0$ or la seule courbe qui passe par le point de coordonnées $\left(1;0\right)$ est la courbe 2 donc : La courbe 2 est la seule courbe susceptible de représenter la fonction dérivée $g\prime$.

   Dire que G est une primitive de la fonction g signifie que $G\prime =g$. Par conséquent, les variations de la fonction G se déduisent du signe de sa dérivée g. x − ∞ 0 $+\infty$ Signe de g − $\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$ + variations de G La seule courbe susceptible de représenter la fonction G est la courbe 4. Remarque : Utiliser $g\left(0\right)=0$ ne suffit pas car, les courbes 1 et 4 admettent une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 0.

3. On suppose que la fonction g est de la forme : $g\left(x\right)=\left(x+a\right){\mathrm{e}}^{bx+c}$, où a, b et c sont des nombres réels.

   1. Démontrer que $a=0$ et que $c=-2b$.

      • $g\left(0\right)=0\iff a{\mathrm{e}}^c=0$. Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $a=0$.

        ---

      • $a=0$ et $g\left(2\right)=2$ alors, $$\begin{array}{lll}2{\mathrm{e}}^{2b+c}=2& \iff & {\mathrm{e}}^{2b+c}=1\\ & \iff & 2b+c=0\end{array}$$

        Donc $c=-2b$

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   2. Déterminer $g\prime \left(x\right)$ en fonction de b et de x.

      Pour tout réel x, $g\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{bx-2b}$

      La fonction g est le produit de deux fonctions dérivables u et v telles que $u\left(x\right)=x$ et $v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{bx-2b}$

      Donc $g\prime =u\prime v+uv\prime$ (avec $u\prime \left(x\right)=1$ et $v\prime \left(x\right)=b{\mathrm{e}}^{bx-2b}$).

      D'où, $$\begin{array}{lll}g\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{bx-2b}+bx{\mathrm{e}}^{bx-2b}\\ & =& \left(1+bx\right){\mathrm{e}}^{bx-2b}\end{array}$$

      Ainsi, $g\prime \left(x\right)=\left(1+bx\right){\mathrm{e}}^{bx-2b}$.

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   3. Calculer alors les valeurs de b et de c.

      $g\prime \left(x\right)=\left(1+bx\right){\mathrm{e}}^{bx-2b}$ et $g\prime \left(1\right)=0$ alors, b est solution de l'équation $\left(1+b\right){\mathrm{e}}^{-b}=0$ comme ${\mathrm{e}}^{-b}>0$, $b=-1$

      g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{2-x}$.

      ---

4. Démontrer que la fonction G définie par $G\left(x\right)=-\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{2-x}$ est une primitive de g sur $ℝ$.

   $G=u\times v$ d'où $G\prime =u\prime v+uv\prime$
   avec $u\left(x\right)=-\left(x+1\right)$, $v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{2-x}$, $u\prime \left(x\right)=-1$ et $v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{2-x}$

   D'où pour tout réel x, $G\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{2-x}+\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{2-x}\iff G\prime \left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{2-x}$

   Pour tout réel x, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$ alors, G est une primitive de g sur $ℝ$.

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5. Calculer l'aire K, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe Γ et les droites d'équations $x=2$ et $x=3$.

   La courbe Γ représente une fonction continue sur $ℝ$ et positive sur $[0;+\infty [$ alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire : Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
   Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

   l'aire K, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe Γ et les droites d'équations $x=2$ et $x=3$ est égale à ${\displaystyle {\int }_2^{3}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Soit $$\begin{array}{lll}K={\displaystyle {\int }_2^{3}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {[G\left(x\right)]}_2^3}\\ & =& {\displaystyle {[-\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{2-x}]}_2^3}\\ & =& \left(-4{\mathrm{e}}^{-1}\right)-\left(-3{\mathrm{e}}^0\right)\\ & =& 3-4{\mathrm{e}}^{-1}\end{array}$$

   L'aire K, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe Γ et les droites d'équations $x=2$ et $x=3$ est égale à $3-4{\mathrm{e}}^{-1}$ unités d'aire

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