Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de transports routiers dispose de 16 camions dont :

9 sont considérés comme « anciens » ;
4 sont considérés comme « récents » ;
3 sont considérés comme « neufs ».

partie a

L'entreprise décide d'observer l'état des 16 camions pendant une période donnée. On sait de plus que, pendant cette période, la probabilité que :

un camion « ancien » ait une panne, est égale à 0,08 ;
un camion « récent » ait une panne, est égale à 0,05 ;
un camion « neuf » ait une panne, est égale à 0,0025.

On choisit au hasard un camion parmi les 16. On note les évènements suivants :

A : « le camion est ancien » ;
R : « le camion est récent » ;
N : « le camion est neuf » ;
D : « le camion a une panne ».

Construire un arbre pondéré décrivant les éventualités associées au choix d'un camion.
Calculer la probabilité que le camion choisi soit récent et ait une panne (on donnera, pour cette question et les deux suivantes, à chaque fois une valeur approchée du résultat arrondie à 10^-4 près).
Calculer la probabilité que le camion choisi ait une panne.

A, R et N forment une partition de l'univers. Penser à la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$
Calculer la probabilité que le camion soit neuf sachant qu'il n'a pas de panne.

Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle $p_{\bar{D}} (N)$ en utilisant l'arbre de la première question pour le calcul de $p (N \cap \bar{D})$ .

partie b

Dans cette partie, on s'intéresse seulement aux camions « neufs ».
(on donnera, pour chacune des questions suivantes, une valeur approchée du résultat arrondie au millième).

Un camion peut être indisponible pour des raisons de matériel ou de personnel. Chaque camion neuf a de façon indépendante une probabilité d'indisponibilité de 0,01.

Il y a 3 camions neufs et chaque camion neuf ayant de façon indépendante une probabilité d'indisponibilité de 0,01, la loi de probabilité associée au nombre de camions neufs indisponibles un jour donné est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,01.

Déterminer la probabilité pour qu'un jour donné :

tous les camions « neufs » soient indisponibles (évènement T)
un camion « neuf » au moins soit indisponible (évènement M)
deux camions « neufs » exactement soient disponibles (évènement S)

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