sujet : La Réunion

énoncé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte. On portera la réponse dans le tableau prévu en annexe.
Barème : une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève de point.
Si le total de point est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

1. L'expression $f\left(x\right)=x\left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)+1$ peut aussi s'exprimer ainsi :

   1. $f\left(x\right)=\ln \mathrm{e}+{\mathrm{e}}^{-x}\left(x+x{\mathrm{e}}^x\right)$

   2. $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-x}$

   3. $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-x}+1+{\mathrm{e}}^x$

2. Deux fonctions u et g sont connues par leurs tableaux de variations.

   x	$-\infty$	$-1$	3		$+\infty$
   $u\left(x\right)$	4		$-1$		$+\infty$

   ---

   x	$-\infty$		$-2$		2		$+\infty$
   $g\left(x\right)$	$-\infty$		0		$-1$		$+\infty$

   On a alors :

   1. $g[u\left(-1\right)]=-1$

   2. $g[u\left(-2\right)]=-2$

   3. $g[u\left(-1\right)]=-2$

3. En considérant les fonctions u et g précédentes, on a :

   1. $\underset{x\to -\infty }{\lim }g[u\left(x\right)]=4$

   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }g[u\left(x\right)]=-\infty$

   3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }g[u\left(x\right)]=+\infty$

4. En considérant la fonction g de la question 2, l'équation $g\left(x\right)=3$ admet :

   1. exactement une solution sur $[-4;2]$

   2. exactement une solution sur $[-3;+\infty [$

   3. exactement une solution sur $]-\infty ;-2]$

5. Dire que la droite d'équation  $y=x-1$ est asymptote oblique en $+\infty$ à la courbe représentative d'une fonction f dans un repère du plan, revient à dire que :

   1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$

   2. $\underset{x\to 0}{\lim }[f\left(x\right)-\left(x-1\right)]=+\infty$

   3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f\left(x\right)-\left(x-1\right)]=0$

6. La fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x^2+1}$ est :

   1. une primitive de la fonction qui à x associe : $-x{\mathrm{e}}^{\mathrm{}-x^2+1}$

   2. une primitive de la fonction qui à x associe : $-2x{\mathrm{e}}^{1-x^2}$

   3. la dérivée de la fonction qui à x associe : $-2x{\mathrm{e}}^{1-x^2}$

7. Une fonction f est connue par son tableau de variations :

   x	$-\infty$		3		5		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$	$-\infty$		1 + e		1		$+\infty$

   Soit F une primitive de la fonction f sur $ℝ$. On peut affirmer que :

   1. F est croissante sur $]-\infty ;3]$

   2. $F\prime$ est est positive sur $ℝ$

   3. F est croissante sur $[3;5]$

8. La fonction f définie sur $ℝ-\left\{4\right\}$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-3x+1}{x-4}}$ a pour représentation graphique la courbe C, dans un repère donné.
   On peut dire alors que :

   1. la droite d'équation $y=x+1$ est asymptote oblique à C en $+\infty$.

   2. la droite d'équation $x=-4$ est asymptote verticale à C.

   3. la droite d'équation $x=4$ est asymptote horizontale à C en $+\infty$.

9. Pour toute fonction f continue et positive sur $[-1;1]$, si $C_f$ est la courbe représentative de f dans un repère donné du plan, alors ${\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est :

   1. la valeur moyenne de f sur $[-1;1]$.

   2. l'aire, en unités d'aire, du domaine sous la courbe $C_f$, entre les droites d'équations $x=-1$ et $x=1$.

   3. égale à $f\left(1\right)-f\left(-1\right)$.

10. a et b étant deux nombres réels strictement positifs, $\ln \left(a+b\right)$ est égale à :

    1. $\left(\ln a\right)\times \left(\ln b\right)$

    2. $\ln a+\ln \left({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}\right)+\ln b$

    3. $\ln a+\ln b$

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