sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Utiliser les droites d'équations $y=x$ et $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+5$ pour construire les quatre premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
   Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ?

   Pour obtenir la représentation des termes de la suite :

   • Placer le terme initial $u_1=12$ sur l'axe des abscisses.
   • Comme $u_2={\displaystyle \frac{1}{3}}{u}_1+5$, $u_2$ est l'ordonnée du point de la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+5$ d'abscisse 12.
   • À l'aide de la droite d'équation $y=x$ on rabat l'ordonnée $u_2$ sur l'axe des abscisses.
   • Pousuivre le procédé pour représenter les termes $u_3$ et $u_4$.

   ---

   ---

   Graphiquement, la suite $\left(u_n\right)$ semble converger vers 7,5. Vérifions que 7,5 est la bonne valeur :

   Si, lorsque n tend vers $+\infty$ la suite $\left(u_n\right)$ admet une limite finie $𝓁$ alors $𝓁$ est solution de l'équation $$\begin{array}{lll}𝓁={\displaystyle \frac{1}{3}}𝓁+5& \iff & {\displaystyle \frac{2}{3}}𝓁=5\\ & \iff & 𝓁={\displaystyle \frac{15}{2}}\end{array}$$

   Si, la suite $\left(u_n\right)$ admet une limite finie quand n tend vers $+\infty$ alors cette limite est 7,5.

   ---

2. Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n⩾1$, par $v_n=u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

      Montrons qu'il existe un réel q tel que : $v_{n+1}=q{v}_n$ pour tout entier $n⩾1$. (Voir la définition d'une suite géométrique.) Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

      pour tout entier $n⩾1$, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-{\displaystyle \frac{15}{2}}\\ & =& \left({\displaystyle \frac{1}{3}}{u}_n+5\right)-{\displaystyle \frac{15}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}{u}_n-{\displaystyle \frac{5}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\left(u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}{v}_n\end{array}$$

      Pour tout entier $n⩾1$, $v_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{v}_n$ alors la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

      ---

   2. Exprimer alors $v_n$ en fonction de n.

      Calculons le terme initial $v_1$ :$$\begin{array}{lll}{v}_1& =& u_1-{\displaystyle \frac{15}{2}}\\ & =& 12-{\displaystyle \frac{15}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$$

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_1={\displaystyle \frac{9}{2}}$ et de raison $q={\displaystyle \frac{1}{3}}$ alors d'après , la propriété des suites géométriques : Si ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier n : $$u_n=u_0\times q^n$$ et, plus généralement, pour tout entier $n⩾p$ : $u_n=u_p{u}^{n-p}$ avec $p\in \mathbb{N}$.

      Pour tout entier $n⩾1$, $v_n={\displaystyle \frac{9}{2}}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}$

      ---

   3. Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$ puis en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

      $v_n=f\left(n\right)$ avec f fonction définie sur $[1;+\infty [$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{9}{2}}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{x-1}$. Pour calculer la limite de la suite $\left(v_n\right)$, nous sommes donc amenés à déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction f.  (Voir le théorème) Soit f une fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=f\left(n\right)$.
      Si la fonction f a une limite en $+\infty$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a une limite et, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      $0<{\displaystyle \frac{1}{3}}<1$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{x-1}=0$ d'où, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

      La suite $\left(v_n\right)$ converge vers 0.

      ---

      Pour tout entier $n⩾1$, $$v_n=u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}\iff u_n=v_n+{\displaystyle \frac{15}{2}}$$Comme $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n={\displaystyle \frac{15}{2}}$.

      La suite $\left(u_n\right)$ converge vers ${\displaystyle \frac{15}{2}}$.

      ---

3. Est-il possible de déterminer n de sorte que :

   1. $u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}⩽{10}^{-6}$ ?

      Pour tout entier $n⩾1$, $$\begin{array}{llll}{u}_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}⩽{10}^{-6}& \iff & v_n⩽{10}^{-6}& \\ & \iff & {\displaystyle \frac{9}{2}}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}⩽{10}^{-6}& \\ & \iff & {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}⩽{\displaystyle \frac{2\times {10}^{-6}}{9}}& \\ & \iff & \ln {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}⩽\ln {\displaystyle \frac{2\times {10}^{-6}}{9}}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & \left(n-1\right)\times \ln {\displaystyle \frac{1}{3}}⩽\ln {\displaystyle \frac{2\times {10}^{-6}}{9}}& \\ & \iff & -\left(n-1\right)\times \ln 3⩽\ln \left(2\times {10}^{-6}\right)-\ln 9& \\ & \iff & n-1⩾{\displaystyle \frac{\ln 9-\ln \left(2\times {10}^{-6}\right)}{\ln 3}}& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln 9-\ln \left(2\times {10}^{-6}\right)}{\ln 3}}+1& \end{array}$$

      Or ${\displaystyle \frac{\ln 9-\ln \left(2\times {10}^{-6}\right)}{\ln 3}}+1\approx \mathrm{14,9445}$. Il suffit donc de prendre $n⩾15$.

      $u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}⩽{10}^{-6}$ pour tout entier $n⩾15$.

      ---

      remarque :

      A partir du rang $n=15$ , tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]{\displaystyle \frac{15}{2}};{\displaystyle \frac{15}{2}}+{10}^{-6}]$

   2. $u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}⩾{10}^6$ ?

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de terme initial $v_1={\displaystyle \frac{9}{2}}$ et de raison $q={\displaystyle \frac{1}{3}}$ alors $\left(v_n\right)$ est une suite décroissante. Par conséquent, pour tout entier $n⩾1$, $\begin{array}{ccc}{v}_n⩽{\displaystyle \frac{9}{2}}& \iff & u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}⩽{\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$.

      Il n'existe pas d'entier n tel que $u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}⩾{10}^6$

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.