Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La courbe (C) ci-dessous représente une fonction F définie et dérivable sur l'intervalle $J =] \frac{1}{2}; + \infty [$ .
On sait que (C) coupe l'axe des abscisses au point $(3; 0)$ * et a une tangente horizontale au point $(1; - 2)$ . On note f la fonction dérivée de F.

*Voir la remarque sur le corrigé.

1. À l'aide du graphique, donner les variations de F et en déduire le signe de f.
2. Donner $f (1)$ , $F (1)$ et $F (3)$ . Préciser le signe de $f (3)$ .
3. Calculer $\int_{1}^{3} f (x) d x$ .
  F est une primitive de f d'où : $\begin{array}{l} \int_{1}^{3} f (x) d x & = & {[F (x)]}_{1}^{3} \end{array}$
Trois fonctions $f_{1}$ , $f_{2}$ et $f_{3}$ sont définies sur l'intervalle J par : $\begin{matrix} f_{1} (x) = (x^{2} - x + 1) e^{2 x - 1} & f_{2} (x) = \ln (2 x - 1) & et & f_{3} (x) = - 1 + \frac{1}{2 x - 1} \end{matrix}$ Une de ces trois fonctions est la fonction f.
1. Étudier le signe de $f_{1}$ sur l'intervalle J.
2. Résoudre l'équation $f_{2} (x) = 0$ sur l'intervalle J.
3. Calculer $f_{3} (1)$ .
4. Calculer $\int_{1}^{3} f_{3} (x) d x$ .
  Quelles sont les primitives des fonctions de la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u > 0$ ?
5. En déduire la fonction f.

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