Baccalauréat session 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Nouvelle Calédonie

exercice 1 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle 0+, strictement croissante sur l'intervalle 02 et strictement décroissante sur l'intervalle 2+. On note f la fonction dérivée de f sur l'intervalle 0+.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La courbe Γ représentative de la fonction f dans un repère orthonormé est tracée ci-contre.

Elle passe par les points A12-2, B10, C21 et D720.

E est le point de coordonnées D132.

La courbe Γ admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

La droite (AE) est tangente à la courbe Γ au point A.


Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse).Les réponses ne seront pas justifiées.

notation : une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte retire 0,25 point ; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

AffirmationVraiFaux

a) L'équation fx=-1 admet exactement deux solutions sur l'intervalle 0+.

V

F

b) Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à 17.

V

F

c) Les fonctions f et f ont le même signe sur l'intervalle 12.

V

F

d) Les primitives de la fonction f sont croissantes sur l'intervalle 172.

V

F

e) On peut calculer lnfx pour tout réel x de l'intervalle 0+.

V

F

f) La fonction g définie sur l'intervalle 2+ par gx=efx est croissante sur cet intervalle.

V

F


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un club sportif a été créé au début de l'année 2000 et, au cours de cette année-là, 140 adhérents s'y sont inscrits.
Le tableau ci-dessous donne le nombre d'adhérents de 2000 à 2005.

année200020012002200320042005
rang de l'année xi012345
nombre d'adhérents yi140165220240260310

Le détail des calculs statistiques à effectuer à la calculatrice n'est pas demandé.

  1. Représenter dans un repère orthogonal Oıȷ le nuage des points Mixiyi associé à cette série statistique.
    On prendra comme unités graphiques 2 cm pour 1 année en abscisse et 1 cm pour 10 adhérents en ordonnées. Sur l'axe des ordonnées, on commencera la graduation à 120.

  2. Un premier ajustement du nuage des points Mixiyi.

    1. On désigne par G1, le point moyen des trois points M1, M2 et M3 du nuage et par G2 le point moyen des trois points M4, M5 et M6 du nuage.
      Calculer les coordonnées respectives de G1 et de G2 dans le repère Oıȷ.

    2. Déterminer l'équation réduite y=Ax+B de la droite (G1G2) dans le repère Oıȷ, les coefficients A et B seront donnés sous la forme de fractions irréductibles.
      Tracer la droite (G1G2) sur le graphique.

    3. En utilisant la droite (G1G2) comme droite d'ajustement du nuage, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007.

  3. Dans cette question, on utilise la droite des moindres carrés.

    1. Soit Δ la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite Δ dans le repère Oıȷ.

    2. En utilisant la droite Δ, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007

    1. Si le taux d'augmentation du nombre d'adhérents d'une année à l'autre était fixe et égal à t %, quelle serait la valeur de t arrondie au centième qui donnerait la même augmentation du nombre d'adhérents entre 2000 et 2005 ?

    2. Avec ce même taux d'augmentation t, quel serait le nombre d'adhérents, arrondi à l'unité, pour l'année 2007 ?


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Sur le graphe ci-contre, les sept sommets A, B, C, D, E, F et G correspondent à sept villes.
Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une liaison entre les deux villes correspondantes.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

  1. Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d'une des sept villes et y revient en passant une fois et une seule fois par toutes les autres villes ?

  2. On note M la matrice associée au graphe ci-dessus. Les sommets sont rangés suivant l'ordre alphabétique.

    On donne M3=(076104272110915610980311092175098106341076022535322)
    Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F. Les citer tous. Aucune justification n'est demandée.

  3. Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    On donne ci-dessous et sur le graphe ci-contre les distances exprimées en centaines de kilomètres entre deux villes pour lesquelles il existe une liaison :

    AB : 5 ; AC : 7 ;
    BD : 8 ; BE : 15 ;
    BG : 6 ; CD : 10 ;
    CE : 15 ; DF : 20 ;
    DG : 10 ; EF : 5 ;


    Un représentant de commerce souhaite aller de la ville A à la ville F.

    En expliquant la méthode utilisée, déterminer le trajet qu'il doit suivre pour que la distance parcourue soit la plus courte possible et donner cette distance


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une étude réalisée auprès des élèves d'un lycée a permis d'établir que 55 % des élèves possèdent un ordinateur. Parmi les élèves qui ont un ordinateur, 98 % possèdent un téléphone portable.
De plus, parmi ceux qui possèdent un téléphone portable, 60 % possèdent un ordinateur.

Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats au centième donc les pourcentages à l'unité.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

On choisit au hasard un élève de ce lycée. On note :

    1. Calculer la probabilité que l'élève possède un ordinateur et un téléphone portable.

    2. En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable.

    1. On prend 0,90 comme valeur de la probabilité de l'évènement T.
      Calculer la probabilité que l'élève ne possède pas d'ordinateur mais possède un téléphone portable.

    2. En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable sachant qu'il ne possède pas d'ordinateur.

partie b

On choisit trois élèves au hasard, indépendamment les uns des autres.

On note E l'évènement : « Exactement deux des trois lycéens choisis possèdent un ordinateur ».
Calculer la probabilité de l'évènement E.


exercice 4 ( 7 points ) commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction h définie et dérivable sur par hx=e2x-7ex+6. On note h sa fonction dérivée.

    1. Calculer la limite de la fonction h en − ∞.

    2. Calculer la limite de la fonction h en + ∞.
      (on pourra utiliser l'égalité vraie pour tout réel x : hx=exex-7+6e-x).

  1. Calculer hln72, h0 puis hln6.

  2. Déterminer par le calcul l'image hx d'un réel x par la fonction h et étudier les variations de la fonction h.
    Dresser le tableau de variations de la fonction h et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau.

  3. En déduire le tableau des signes de la fonction h.

partie b

On considère les fonctions f et g définies sur par fx=6-6e-x et gx=ex-1.

On note 𝒞f et 𝒞g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère du plan d'unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

Les courbes 𝒞f et 𝒞g sont données en annexe.

  1. Démontrer que le point de coordonnées ln65 est un point d'intersection des courbes 𝒞f et 𝒞g.

    1. Démontrer que, pour tout réel x, fx-gx=-hxex.

    2. Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes 𝒞f et 𝒞g.

  2. On note D le domaine du plan limité par les courbes 𝒞f, 𝒞g et les droites d'équations respectives x=0 et x=ln6.

    1. Hachurer le domaine D sur le graphique donné en annexe.

    2. Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine D en cm2 puis en donner une valeur approchée arrondie au centième.

annexe

Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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