Soit f une fonction définie sur l'intervalle et (C) sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal.
Un logiciel fournit le graphique qui figure ci-dessous.
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Expliquer les procédés utilisés et, lorsque c'est nécessaire, compléter le graphique.
Donner une estimation de où est la fonction dérivée de la fonction f .
Donner un encadrement d'amplitude 1 de .
Donner une valeur approchée à 0,5 près de la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle .
Dans cette partie on sait que la fonction f est définie par :
Pour tout élément x de , .
On nomme la fonction dérivée de la fonction f. Calculer pour x élément de .
Justifier l'affirmation : « Sur l'intervalle , la fonction f admet un maximum pour et ce maximum est égal à e ».
Donner une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) en son point d'abscisse 0.
Soit g la fonction définie par : pour x élément de , .
Calculer où est la fonction dérivée de la fonction g.
Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle (en donner la valeur exacte).
Les deux parties sont totalement indépendantes.
Soient A, B, C et T quatre évènements associés à une épreuve aléatoire. On note l'évènement contraire de l'évènement T.
On donne l'arbre de probabilités suivant.
Donner la probabilité de l'évènement « T sachant que A est réalisé ».
Calculer :
la probabilité de l'évènement B;
la probabilité de l'évènement « non T sachant que A est réalisé » ;
la probabilité de l'évènement « A et T ».
On sait que la probabilité de l'évènement T est : .
Calculer la probabilité .
Calculer la probabilité .
Un domino est une petite plaque partagée en deux parties. Sur chacune des parties figure une série de points.
Il peut y avoir de zéro à six points dans une série. Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents.
Lors d'une fête, on propose le jeu suivant :
On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d'être tirés.
Établir la loi de probabilité des gains possibles.
Le joueur doit miser 7 € avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ?
Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.
Pour chaque question, une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0.
Le nombre d'habitants d'une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006. Le taux d'évolution du nombre d'habitants de cette ville de 2002 à 2006 est :
Effectuer une augmentation de 15 % suivie d'une baisse de 15 % revient à :
On admet que le chiffre d'affaire d'une entreprise augmentera régulièrement de 3,2 % par an. Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité près, de :
La suite est définie par : pour tout entier naturel n, .
On a représenté un nuage de points et effectué un ajustement affine :
Selon cet ajustement, lorsque x prendra la valeur 7, v vaudra environ :
Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.
Pour chaque question, une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0.
La suite est définie par : pour tout entier naturel n, .
La suite est définie par et, pour tout entier naturel n, .
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
- le plan (P) d'équation ,
- la droite (D) d'équations cartésiennes et .
La matrice d'un graphe non orienté G, de sommets A, B, C, D, E est :
Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2 % chaque semaine depuis sa parution. Au cours de la première semaine il s'en était vendu dix mille exemplaires.
Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution est :
On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle par et
Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle .
La fonction h est définie sur l'intervalle par .
On admet que la dérivée de la fonction h est la fonction définie par :
pour tout x élément de l'intervalle , .
Résoudre l'équation sur l'intervalle .
Étudier le signe de sur l'intervalle .
Dresser le tableau des variations de la fonction h.
On admet que, dans l'intervalle , l'équation admet une unique solution α. À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10−2 près de α.
Expliquer pourquoi
Démontrer que pour tout x élément de l'intervalle , .
Démontrer que la fonction g admet un minimum pour .
En utilisant le fait que , exprimer en fonction de puis déduire de la question précédente que .
Une entreprise a conduit une étude statistique sur les coûts de production de l'un de ses produits. Pour une production comprise entre 1 tonne et 50 tonnes et des coûts exprimés en milliers d'euros, cette étude conduit à adopter le modèle mathématique suivant :
(Des graphiques obtenus à l'aide d'un logiciel sont fournis ci-dessous. Ils peuvent être complétés et rendus avec la copie).
Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de 38 000 € la tonne.
Quelle que soit sa production, l'entreprise pense pouvoir la vendre en totalité au prix de 45 000 euros la tonne. Donner une estimation des productions qui pourront permettre de réaliser un bénéfice.
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