Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
notation : une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.
Pour tout nombre réel a et pour tout nombre réel b, on peut affirmer que est égal à :
Réponse A : | Réponse B : | Réponse C : |
On considère trois fonctions f, g et h définies sur telles que, pour tout nombre réel x, .
Si l'on sait que alors on peut en déduire que :
Réponse A : | Réponse B : | Réponse C : |
On considère une fonction f définie et dérivable sur , de dérivée . On donne ci-dessous son tableau de variations.
x | − 1 | 1 | |||||
+ | 0 | − | 0 | + | |||
0 | e |
L'équation admet dans
Réponse A : trois solutions | Réponse B : deux solutions | Réponse C : une solution |
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère . La tangente à la courbe C au point d'abscisse 0 peut avoir pour équation
Réponse A : | Réponse B : | Réponse C : |
Dans un pays européen, le montant des recettes touristiques, exprimé en millions d'euros, est donné dans le tableau ci-dessous
Année | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 |
Rang de l'année | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Montant des recettes touristiques en millions d'euros | 24 495 | 26 500 | 29 401 | 33 299 | 33 675 | 34 190 |
On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients, obtenus à l'aide de la calculatrice, seront arrondis au centième.
En supposant que cet ajustement est valable jusqu'en 2007, calculer le montant que l'on peut prévoir pour les recettes touristiques de l'année 2007, arrondi au million d'euros.
On considère la fonction f définie pour tout nombre entier n par .
On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen. Ainsi représente le montant des recettes touristiques (exprimé en millions d'euros) de ce pays européen pour l'année 2000 + n.
Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que l'on peut prévoir pour l'année 2007. Arrondir le résultat au million d'euros.
Déterminer le nombre entier n à partir duquel .
En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le montant des recettes touristiques dépasserait 45 000 millions d'euros.
La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs : le travail de la main d'oeuvre et l'utilisation des machines. On désigne :
- par x la durée journalière de travail de la main d'oeuvre, exprimée en heures ; x appartient à l'intervalle
- par y la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée en heures ; y appartient à l'intervalle
La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation :
La figure ci-dessous représente la surface (S) d'équation : pour et
Le point A représenté par une croix est un point de la surface (S).
Déterminer graphiquement l'abscisse et la cote du point A. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).
Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l'entreprise.
Pour chaque heure, le coût total du travail s'élève à 4 milliers d'euros, et le coût total d'utilisation des machines s'élève à 1 millier d'euros.
L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors
La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle par
On note la fonction dérivée de g sur l'intervalle .
Pour tout nombre réel x de l'intervalle , calculer et montrer que
Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle .
En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d'utilisation des machines permettant d'obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d'euros.
Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes.
Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 30% de niveau difficile.
Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas.
Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.
On considère les évènements suivants :
Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.
Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.
Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.
Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?
Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sœur affirme : « Je pense que ta grille était facile ». Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.
Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.
Le coût marginal de production est fonction de la quantité x de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction définie pour les nombres réels x de l'intervalle par : .
( est exprimé en centaines d'euros, x en kilogrammes).
Étudier les variations de la fonction , puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle .
En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction .
Déterminer la fonction C, primitive de la fonction sur l'intervalle qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant que .
On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu.
Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse x (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle par .
La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe (Γ ) donnée ci-dessous.
On admet que la fonction B est strictement croissante sur l'intervalle et strictement décroissante sur l'intervalle .
En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal.
Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro).
Utiliser la courbe (Γ ) pour déterminer un encadrement d'amplitude 0,5 de la plus petite quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.
Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de approchée au centième.
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.