Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification. Une bonne réponse apporte 0,5 point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à 0.
1. est égale à : |
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2. est égale à : |
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3. est équivalente à : | |
4. La fonction f définie sur par a pour primitive la fonction F définie sur par : |
Soient a et b deux réels strictement positifs. A et B sont deux évènements associés à une expérience aléatoire. On sait que , et . Alors,
5. est égale à : | |
6. est égale à : | |
7. est égale à : |
Soit , la suite géométrique de premier terme et de raison . Alors,
8. est égal à : | |
9. est égal à : | |
10. est égale à : |
|
On considère une fonction f définie et dérivable sur ; sa courbe représentative est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal. On note la fonction dérivée de f.
Sont également tracées les tangentes à la courbe aux points d'abscisse 0 et 2 , ainsi que la droite (d) d'équation .
Aux points d'abscisses 1 et 3 les tangentes à la courbe sont parallèles à l'axe des abscisses.
Par lecture graphique, déterminer :
et .
et .
et .
L'ensemble des réels x tels que .
Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de f sur I ; on indiquera le signe de .
En déduire le tableau de variations de la fonction g définie sur par .
On appelle A l'aire du domaine hachuré exprimée en unités d'aire. Parmi les trois propositions suivantes, déterminer celle qui est exacte, en la justifiant par des arguments géométriques :
a) b) c) .
On suppose que , où m, n, p et q sont des réels.
En utilisant les résultats de la question 1.a, déterminer p et q.
En utilisant les résultats de la question 1.b, déterminer m et n.
On admet que .
Démontrer que les tangentes à la courbe aux points d'abscisses 0 et 4 sont parallèles.
Calculer, en unités d'aire, l'aire A du domaine hachuré.
Les parties A et B sont indépendantes
L'objet d'étude est le réseau des égouts d'une ville. Ce réseau est modélisé par le graphe ci-dessous : les sommets représentent les stations et les arêtes, les canalisations.
Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?
Justifier que le nombre chromatique de ce graphe est compris entre 4 et 6.
Le graphe pondéré ci-dessus donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du réseau des égouts.
Un ouvrier doit se rendre par ce réseau de la station E à la station S. Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet le plus rapide pour aller de E à S et préciser sa durée.
Ayant choisi le trajet le plus rapide, l'ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont fermées pour cause de travaux et qu'il ne peut les utiliser.
Peut-il terminer, au plus vite, son trajet jusqu'à S ? Combien de temps le trajet entre E et S prendra-t-il dans ce cas ?
S'il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, quel trajet aurait choisi l'ouvrier pour se rendre, au plus vite de E à S ? Combien de temps ce trajet aurait-il pris ?
On suppose que, pour tous les jours de septembre, la probabilité qu'il pleuve est .
S'il pleut, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est .
S'il ne pleut pas, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est .
Représenter par un arbre de probabilité la situation ci-dessus.
Quelle est la probabilité qu'un jour de septembre donné, il pleuve et que Monsieur X arrive à l'heure à son travail ?
Montrer que la probabilité qu'un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail est .
Un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail. Quelle est la probabilité qu'il ait plu ce jour là ?
Sur une période de 4 jours de septembre, quelle est la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure au moins une fois ? On arrondira le résultat à 10-3 près.
On s'intéresse à la production mensuelle d'une certaine catégorie d'articles par une entreprise E. On sait que le nombre d'articles produits par mois est compris entre 0 et 500. On suppose que le coût marginal, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle par où x représente le nombre de centaines d'articles fabriqués.
On sait que la fonction coût total, notée , est la primitive de la fonction C sur qui s'annule pour . Justifier que .
La fonction coût moyen, notée est la fonction définie sur par Donner une expression de en fonction de x.
Déterminer où désigne la fonction dérivée de .
Résoudre dans l'équation : .
Résoudre dans l'inéquation : .
En déduire le sens de variations de sur .
Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?
Chaque centaine d'articles est vendue 7 000 €. La recette totale pour x centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par en milliers d'euros. Le bénéfice est donc défini par .
Ci-dessous, sont représentées les fonctions et . Par lecture graphique déterminer :
On fera apparaître les constructions nécessaires.
Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E.
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