Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : liban

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

On considère la représentation graphique C de la fonction f définie et dérivable sur $] - \infty; 6]$ . La fonction dérivée de f est notée $f'$ . La droite T est la tangente à C au point d'abscisse 1. On admet que la courbe C est située sous cette tangente T sur $] - \infty; 6]$ .

On répondra au QCM ci-après en s'appuyant sur les informations données par le graphique.

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification.
Une bonne réponse apporte 0,5 point, une mauvaise enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à 0.

partie a

1) L'équation réduite de la tangente T à C au point A d'abscisse 1 est La tangente T à la courbe C au point $A (1; 0)$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; - 2)$ . Le coefficient directeur de la droite T est donc $a = \frac{- 2 - 0}{0 - 1} = 2$ L'équation réduite de la tangente T est donc $\begin{matrix} y = 2 (x - 1) + f (1) & Soit & y = 2 (x - 1) \end{matrix}$	$y = x - 1$ $y = x - 2$ $y = 2 (x - 1)$
2) L'équation $f' (x) = 0$ admet La courbe C admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses respectivement aux points d'abscisses 3 et 5. Donc $f' (3) = 0$ et $f' (5) = 0$	1 solution 2 solutions 0 solution
3) La limite de $f (x)$ en $- \infty$ est Par convention graphique $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$	$- \infty$ − 5 6
4) La fonction $\ln f$ est définie sur La fonction $\ln f$ est définie sur tout intervalle où la fonction f est strictement positive. Soit pour $x \in] 1; 6]$	$] - \infty; 6]$ $] 0; 6]$ $] 1; 6]$
5) La fonction $\ln f$ s'annule exactement Sur l'intervalle $] 1; 6]$ , $\ln (f (x)) = 0 \Leftrightarrow f (x) = 1$ . Donc $\ln f$ s'annule pour $x = 3$ ou $x = 5,5$ .	1 fois 2 fois 0 fois

partie b

Dans cette partie du QCM, on appelle g la fonction définie sur $] - \infty; 6]$ par $g (x) = \exp (f (x))$ .

6) La fonction g est strictement croissante sur

La fonction exponentielle est strictement croissante. Donc les fonctions f et $e^{f}$ ont les mêmes variations sur tout intervalle I, où la fonction f est définie.

D'après le graphique, la fonction f est strictement croissante sur les intervalles $] - \infty; 3]$ et $] 5; 6]$

$] - \infty; 3]$
$] 1; 6]$
$] - \infty; 6]$

7) $g' (1)$ est égal à

$g' (x) = f' (x) \exp (f (x))$ d'où $\begin{array}{l} g' (1) & = & f' (1) \exp (f (1)) \\ = & 2 \exp (0) \\ = & 2 \end{array}$

2
0
$2 e$

8) La fonction g s'annule exactement

Pour tout réel x $e^{x} > 0$ .

Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $] - \infty; 6]$ , $\exp (f (x)) > 0$ donc la fonction g ne s'annule pas.

1 fois
2 fois
0 fois

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