Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : liban

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

Le tableau ci-dessous donne le nombre de ménages (en milliers) équipés d'un ordinateur entre les années 1986 et 1996.

Année 19861987198819891990199119921993199419951996
Rang xi012345678910
Nombre de ménages yi160235345510760116017802600385054007300

partie a

  1. Calculer le pourcentage d'évolution du nombre de ménages équipés d'un ordinateur entre les années 1986 et 1987.

  2. Si ce pourcentage était resté le même d'année en année jusqu'en 1996, quel aurait été le nombre de ménages équipés en 1996 ? (on arrondira au millier).

    Attention les pourcentages d'évolution ne s'ajoutent pas

  3. On pose z=lny

    1. Compléter le tableau donné en annexe (arrondir les valeurs au centième).

    2. Construire le nuage de points Mi(xi;zi) pour i allant de 0 à 10 dans le repère donné en annexe.

    3. Donner une équation de la droite d d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Tracer cette droite dans le repère précédent.

    4. Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de y en fonction de x sous la forme y=aebx, a étant un réel arrondi à l'entier le plus proche, et b un réel arrondi au centième.

      Pour tout réel y>0z=lnyy=ez

      En déduire dans ce cas, une estimation arrondie au millier du nombre des ménages qui auraient dû être équipés en 2000.

partie b

En fait le nombre de ménages équipés en 2000 est de 15 400 000.

On considère la fonction f définie sur [0;+[ par f(t)=201+2000e-0,44t.

On estime alors que sur la période de 1980 à 2015 l'équipement des ménages en ordinateur peut être modélisé par la fonction f définie ci-dessus.
Ainsi, le nombre de ménages équipés en 1980 + n, exprimé en millions, est donné par f(n).

  1. Déterminer une estimation arrondie au millier du nombre des ménages équipés en 2002 puis en 2003.

  2. Prouver que la fonction f est strictement croissante sur [0;+[.

    1. En quelle année le nombre de ménages équipés a-t-il atteint 18 millions selon l'estimation ?

      On peut utiliser le théorème de la valeur intermédiaire.

    2. Déterminer la limite de f en +. Interpréter le résultat obtenu.


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