sujet : liban

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

1. À l'aide des notations ci-dessus, traduire la situation décrite en recopiant et en complétant l'arbre pondéré dont le départ est proposé ci-dessous. On prendra soin de le compléter au fur et à mesure.

   • Dans cette salle, les hommes représentent 25% des spectateurs, les femmes ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ des spectateurs et les autres spectateurs sont des enfants. Donc $p\left(H\right)=\mathrm{0,25}$, $p\left(F\right)=\mathrm{0,4}$ et $p\left(E\right)=1-\left(\mathrm{0,25}+\mathrm{0,4}\right)=\mathrm{0,35}$

   • ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ des hommes et 30% des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois. Donc $p_H\left(V\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_F\left(V\right)=\mathrm{0,3}$. D'où $p_H\left(\overline{V}\right)=1-p_H\left(V\right)=\mathrm{0,8}$ et $p_F\left(\overline{V}\right)=1-p_F\left(V\right)=\mathrm{0,7}$

   Nous pouvons compléter une partie de l'arbre pondéré

2. 1. Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $H\cap V$.

      $H\cap V$ est l'évènement « la personne interrogée est un homme et a déjà vu le film avant cette projection ».

      ---

   2. Donner $p_H\left(V\right)$ et en déduire $p\left(H\cap V\right)$.

      ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ des hommes ont déjà vu ce film au moins une fois d'où $p_H\left(V\right)=\mathrm{0,2}$. $$\begin{array}{lll}p\left(H\cap V\right)& =& p_H\left(V\right)\times p\left(H\right)\\ & =& \mathrm{0,2}\times \mathrm{0,25}\\ & =& \mathrm{0,05}\end{array}$$

      $p_H\left(V\right)=\mathrm{0,2}$ et $p\left(H\cap V\right)=\mathrm{0,05}$.

      ---

3. La probabilité que l'évènement V soit réalisé est égale à 0,345.

   1. Déterminer $p\left(\overline{V}\right)$.

      $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{V}\right)& =& 1-p\left(V\right)\\ & =& 1-\mathrm{0,345}\\ & =& \mathrm{0,655}\end{array}$$

      $p\left(\overline{V}\right)=\mathrm{0,655}$.

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   2. Déterminer la probabilité que si l'on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au moins une fois avant cette projection.

      Il s'agit de calculer la probabilité de l'évènement V sachant que E est réalisé. Or $$p_E\left(V\right)={\displaystyle \frac{p\left(E\cap V\right)}{p\left(E\right)}}$$

      Nous devons donc calculer d'abord $p\left(E\cap V\right)$.

      Les places sont toutes occupées par des femmes, des hommes ou des enfants donc H, F et E forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(V\right)=p\left(H\cap V\right)+p\left(F\cap V\right)+p\left(E\cap V\right)$$

      Donc $$\begin{array}{lll}p\left(E\cap V\right)& =& p\left(V\right)-p\left(H\cap V\right)-p\left(F\cap V\right)\\ & =& p\left(V\right)-p\left(H\cap V\right)-p_F\left(V\right)\times p\left(F\right)\\ & =& \mathrm{0,345}-\mathrm{0,05}-\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,4}\\ & =& \mathrm{0,175}\end{array}$$

      D'où $$\begin{array}{lllllll}{p}_E\left(V\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(E\cap V\right)}{p\left(E\right)}}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,175}}{\mathrm{0,35}}}& =& \mathrm{0,5}\end{array}$$

      La probabilité que si l'on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au moins une fois avant cette projection est égale à 0,5.

      ---

   Nous pouvons compléter l'arbre avec $p_E\left(V\right)=\mathrm{0,5}$ et$p_E\left(\overline{V}\right)=1-p_E\left(V\right)=\mathrm{0,5}$.

4. On interroge au hasard et successivement quatre personnes sortant de la salle. On suppose que le nombre de spectateurs est suffisamment grand pour assimiler l'interrogation au hasard d'un spectateur à un tirage avec remise.
   Quelle est la probabilité arrondie à 10⁻³ près, qu'au moins une personne ait déjà vu le film avant cette projection ?

   L'interrogation au hasard d'un spectateur est assimilée à un tirage avec remise. Interroger au hasard et de façon indépendante quatre spectateurs est la répétition de quatre épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de spectateurs qui ont déjà vu le film est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,345.

   L'évènement "au moins un des quatre spectateurs a déjà vu le film " est l'évènement contraire de l'évènement "Aucune des quatre personnes interrogées n'avait déjà vu le film ".

   Or la probabilité d'obtenir quatre échecs consécutifs est égale à : ${p\left(\overline{V}\right)}^4={\left(\mathrm{0,655}\right)}^4$.

   La probabilité d'interroger au moins une personne qui ait déjà vu le film avant cette projection est donc : $1-{\left(\mathrm{0,655}\right)}^4\approx \mathrm{0,8159}$

   Arrondie au millième, la probabilité d'interroger au moins une personne ayant déjà vu le film avant cette projection est égale à 0,816.

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partie b

1. 1. Déterminer q.

      Il s'agit d'une loi de probabilté donc la somme des probabilités est égale à 1 $$\begin{array}{lll}\mathrm{0,55}+\mathrm{0,15}+\mathrm{0,15}+\mathrm{0,05}+q+\mathrm{0,05}=1& \iff & q=1-\left(\mathrm{0,15}+\mathrm{0,15}+\mathrm{0,05}+\mathrm{0,05}\right)\\ & \iff & q=\mathrm{0,05}\end{array}$$

      La probabilité qu'un spectateur sortant de la salle ait vu cinq fois le film est égale à 0,05.

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   2. En déduire l'espérance mathématique, arrondie à l'unité, de cette loi de probabilité et interpréter le résultat obtenu.

      L'espérance mathématique de cette loi de probabilité est d'après la définition :Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$$$\begin{array}{ccccc}\mu & =& 1\times \mathrm{0,55}+2\times \mathrm{0,15}+3\times \mathrm{0,15}+4\times \mathrm{0,05}+5\times \mathrm{0,05}+5\times \mathrm{0,05}& =& \mathrm{2,05}\end{array}$$

      L'espérance mathématique, arrondie à l'unité, de cette loi de probabilité est égale à 2. En moyenne, le film a été vu deux fois par les spectateurs de la salle.

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   Difficle d'imaginer une étude nationale sur les spectateurs sortant de la salle !

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