sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ d'unité graphique 2 cm.
On s'intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l'ensemble des réels $ℝ$ par $f\left(x\right)=-1+x{\mathrm{e}}^x$
On note C sa courbe représentative dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }-1+x{\mathrm{e}}^x=+\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

      ---

   2. Déterminer la limite de la fonction f en $-\infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
      (On rappelle le résultat : $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$)

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }-1+x{\mathrm{e}}^x=-1$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$ par conséquent, la courbe C admet pour asymptote la droite d'équation $y=-1$ au voisinage de $-\infty$.

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2. On admet que la fonction f est dérivable sur $ℝ$ et on note $f\prime$ sa fonction dérivée.

   1. Montrer que, pour tout nombre réel x on a $f\prime \left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^x$.

      $f=-1+uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $$\begin{array}{cccc}& u\left(x\right)=x\hfill & \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill & \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$$

      Soit pour tout réel x, $$f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^x$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^x$.

      ---

   2. Dresser le tableau de variations de la fonction f (la valeur de l'extremum sera arrondie à 10⁻² ).

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme $x+1$ sur $ℝ$.

      Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ ainsi que les variations de la fonction f :

      x	$-\infty$		− 1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	− 1		$-1-{\mathrm{e}}^{-1}$		$+\infty$

      calcul du minimum :

      $$f\left(-1\right)=-1-{\mathrm{e}}^{-1}\approx -\mathrm{1,37}$$

3. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[0;1\right]$.
   Donner un encadrement de α d'amplitude 10⁻².

   $$\begin{array}{ccc}f\left(0\right)=-1\hfill & \text{et}& f\left(1\right)=-1+\mathrm{e}\hfill \end{array}$$

   Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(0\right)<0<f\left(1\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α avec $\alpha \in \left[0;1\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{0,57}$.

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4. Démontrer qu'une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 est $y=x-1$.

   La tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 a pour équation :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\left(0\right)=-1\hfill & \text{et}& f\prime \left(0\right)=1\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 a pour équation $y=x-1$.

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5. Dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ tracer la droite T et la courbe C.
   Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe C par rapport à la droite T ?

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   La courbe C est au dessus de la droite T.

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6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Justifier la conjecture émise à la question 5.

   Les positions relatives de la courbe C et de la droite T se déduisent du signe de $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-\left(x-1\right)& =& -1+x{\mathrm{e}}^x-x+1\hfill \\ & =& x{\mathrm{e}}^x-x\hfill \\ & =& x\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\hfill \end{array}$$

   Or pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^x-1⩽0& \iff & {\mathrm{e}}^x⩽1\hfill \\ & \iff & x⩽0\hfill \end{array}$$ D'où le tableau du signe de $f\left(x\right)-\left(x-1\right)$

   x	$-\infty$		0		$+\infty$
   x		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   ${\mathrm{e}}^x-1$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)-\left(x-1\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   Pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾x-1$ donc la courbe C est au dessus de la droite T.

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