sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ d'unité graphique 2 cm.
On s'intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l'ensemble des réels $ℝ$ par $f\left(x\right)=-1+x{\mathrm{e}}^x$
On note C sa courbe représentative dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$.

   2. Déterminer la limite de la fonction f en $-\infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
      (On rappelle le résultat : $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$)

2. On admet que la fonction f est dérivable sur $ℝ$ et on note $f\prime$ sa fonction dérivée.

   1. Montrer que, pour tout nombre réel x on a $f\prime \left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^x$.

   2. Dresser le tableau de variations de la fonction f  (la valeur de l'extremum sera arrondie à 10⁻² ).

3. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[0;1\right]$.
   Donner un encadrement de α d'amplitude 10⁻².

4. Démontrer qu'une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 est $y=x-1$.

5. Dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ tracer la droite T et la courbe C.

   Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe C par rapport à la droite T ?

6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Justifier la conjecture émise à la question 5.

   Les positions relatives de la courbe C et de la droite T se déduisent du signe de $f\left(x\right)-\left(x-1\right)$

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