Baccalauréat septembre 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne la valeur de revente d'une machine outil au bout de t années d'utilisation (les prix sont donnés en centaines d'euros). On veut faire une estimation de son prix de revente au-delà de 6 ans.

Temps écoulé depuis l'achat $t_{i}$ $0 ⩽ i ⩽ 6$	0	1	2	3	4	5	6
Valeur de revente $y_{i}$ en centaines d'euros $0 ⩽ i ⩽ 6$	90	73,8	60	49,5	40,5	33	27

Quel est le pourcentage de baisse du prix de revente de la machine au bout de six ans d'utilisation (de $t_{0}$ à $t_{6}$ ) ?
Étude d'un modèle affine
1. Représenter graphiquement le nuage de points $M (t_{i}; y_{i})$ pour $0 ⩽ i ⩽ 6$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités graphiques :
  - 1cm pour une unité sur l'axe des abscisses ;
  - 1cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.
2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de y en t par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Tracer cette droite dans le repère précédent.
3. On sait qu'au bout de 10 ans la valeur de revente est de 1 000 euros. Le modèle vous semble-t-il adapté pour des calculs à plus long terme ?
Étude d'un modèle exponentiel
1. Pour $0 ⩽ i ⩽ 6$ , on pose $z_{i} = \ln (y_{i})$ . Recopier et compléter le tableau suivant (en arrondissant les nombres au dixième) :
  Temps écoulé depuis l'achat $t_{i}$ $0 ⩽ i ⩽ 6$ 0 1 2 3 4 5 6
  $z_{i} = \ln (y_{i})$ $0 ⩽ i ⩽ 6$
2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de z en t par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième).
3. En déduire que $y = e^{- 0,2 t + 4,5}$ est un ajustement exponentiel possible.
  Pour tout réel $y > 0$ , $z = \ln y \Leftrightarrow y = \exp z$
4. Déterminer à l'aide de ce modèle une estimation de la valeur de revente au bout de 10 ans d'utilisation. Ce modèle vous semble-t-il mieux adapté que celui de l'ajustement affine ? Justifier la réponse.

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Temps écoulé depuis l'achat $t_{i}$ $0 ⩽ i ⩽ 6$	0	1	2	3	4	5	6
$z_{i} = \ln (y_{i})$ $0 ⩽ i ⩽ 6$