sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ . On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$. La courbe Γ ci-contre est la représentation graphique dans un repère orthogonal de $f\prime$, la fonction dérivée de f sur $\left]-4;+\infty \right[$ . Cette courbe Γ passe par les points $A\left(-3;0\right)$, $B\left(-1;0\right)$ et $C\left(0;-\mathrm{1,5}\right)$.

partie a

1. À l'aide de la représentation graphique de la fonction dérivée $f\prime$, déterminer $f\prime \left(0\right)$ et $f\prime \left(-3\right)$.

   La courbe représentative de la fonction dérivée $f\prime$ passe par les points $A\left(-3;0\right)$ et $C\left(0;-\mathrm{1,5}\right)$ donc $f\prime \left(0\right)=-\mathrm{1,5}$ et $f\prime \left(-3\right)=0$

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2. Trois courbes sont présentées ci-dessous.
   Une seule de ces trois courbes peut représenter la fonction f. Déterminer laquelle des trois représentations graphiques ci-dessous est celle de la fonction f, en justifiant votre réponse.

   $f\prime \left(x\right)⩾0$ sur l'intervalle $\left[-3;-1\right]$. Donc sur cet intervalle, la fonction f est croissante.

   $C_1$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction f

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partie b

On suppose qu'il existe deux entiers relatifs a et b tels que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$, on a $f\left(x\right)=a{x}^2+b\ln \left(x+4\right)$

1. 1. Soit x un réel appartenant à l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$. Exprimer $f\prime \left(x\right)$ en fonction de x, a et b.

      $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=2ax+{\displaystyle \frac{b}{x+4}}$

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   2. Déduire des questions précédentes que $a=-1$ et $b=-6$.

      • $f\prime \left(0\right)=-\mathrm{1,5}$ donc :$${\displaystyle \frac{b}{4}}=-\mathrm{1,5}\iff b=-6$$

      • $f\prime \left(-3\right)=0$ donc : $$-6a-6=0\iff a=-1$$

      Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-x^2-6\ln \left(x+4\right)$

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2. On considère l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_{-3}^{-1}f\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}$

   1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale I puis en donner une valeur arrondie au dixième:

      $f\prime$ est la fonction dérivée de la fonction f d'où f est une primitive de $f\prime$ donc $$\begin{array}{ccc}I={\displaystyle {\int }_{-3}^{-1}f\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}& =& f\left(-1\right)-f\left(-3\right)\hfill \\ & =& \left(-1-6\ln 3\right)-\left(-9\right)\hfill \\ & =& 8-6\ln 3\hfill \end{array}$$

      $I={\displaystyle {\int }_{-3}^{-1}f\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}=8-6\ln 3$. Soit $I\approx \mathrm{1,4}$

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   2. Donner une interprétation géométrique de l'intégrale I.

      D'après sa courbe représentative, sur l'intervalle $\left[-3;-1\right]$, $f\prime$ est une fonction continue et positive alors :

      l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_{-3}^{-1}f\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure en unités d'aire, l'aire de la partie du plan située entre la courbe Γ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-3$ et $x=-1$.

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