sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Donner sans justification la probabilité $p\left(T\right)$ de l'événement T.

      70 % des ménages pratiquent le tri sélectif donc $p\left(T\right)=\mathrm{0,7}$

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   2. Donner sans justification $p_T\left(B\right)$ et $p_{\overline{T}}\left(B\right)$.

      • Parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40 % consomment des produits bio donc $p_T\left(B\right)=\mathrm{0,4}$

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      • Parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10 % consomment des produits bio donc $p_{\overline{T}}\left(B\right)=\mathrm{0,1}$

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2. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

3. 1. Calculer la probabilité de l'événement : « le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio ».

      $$\begin{array}{lll}p\left(T\cap B\right)=p_T\left(B\right)\times p\left(T\right)& \text{Soit}& p\left(T\cap B\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,28}\end{array}$$

      La probabilité de l'événement : « le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio » est égale à 0,28.

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   2. Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à 0,31.

      Les évènements T et B sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{c}p\left(B\right)=p\left(T\cap B\right)+p\left(\overline{T}\cap B\right)\end{array}$$

      Or $$\begin{array}{llll}& p\left(\overline{T}\right)=1-p\left(T\right)& \text{et}& p\left(\overline{T}\cap B\right)=p_{\overline{T}}\left(B\right)\times p\left(\overline{T}\right)\\ \text{Soit}& p\left(\overline{T}\right)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}& \text{et}& p\left(\overline{T}\cap B\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,03}\end{array}$$

      Donc $$p\left(B\right)=\mathrm{0,28}+\mathrm{0,03}=\mathrm{0,31}$$

      Ainsi, la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à 0,31.

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4. Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu'il consomme des produits bio (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième).

   $$\begin{array}{ccc}{p}_B\left(T\right)={\displaystyle \frac{p\left(T\cap B\right)}{p\left(B\right)}}& \text{Soit}& p_B\left(T\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,31}}}\approx \mathrm{0,9}\end{array}$$

   Arrondie au centième près, la probabilité probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu'il consomme des produits bio est égale à 0,9.

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5. Les événements T et B sont-ils indépendants ? Justifier.

   $p_T\left(B\right)=\mathrm{0,4}$ et $p\left(B\right)=\mathrm{0,31}$ donc les événements T et B ne sont pas indépendants.

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6. Calculer la probabilité de l'événement $T\cup B$ puis interpréter ce résultat.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(T\cup B\right)=p\left(T\right)+p\left(B\right)-p\left(T\cap B\right)& \text{Soit}& p\left(T\cup B\right)=\mathrm{0,7}+\mathrm{0,31}-\mathrm{0,28}=\mathrm{0,73}\end{array}$$

   $p\left(T\cup B\right)=\mathrm{0,73}$. 73% des ménages pratiquent le tri sélectif ou consomment des produits bio.

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7. Cette ville décide de valoriser les ménages ayant un comportement éco-citoyen. Pour cela, elle donne chaque année un chèque de 20 € aux ménages qui pratiquent le tri sélectif et un chèque de 10 € aux ménages qui consomment des produits bio sur présentation de justificatifs (les deux montants peuvent être cumulés).
   Soit S la somme d'argent reçue par un ménage.

   1. Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre S ? (on n'attend pas de justification).

      Les différentes situations sont :

      • Un ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio d'où $S=30$. Avec $p\left(T\cap B\right)=\mathrm{0,28}$
      • Un ménage pratique le tri sélectif et ne consomme pas des produits bio d'où $S=20$. Avec $p\left(T\cap \overline{B}\right)=\mathrm{0,7}-\mathrm{0,28}=\mathrm{0,42}$
      • Un ménage ne pratique pas le tri sélectif et consomme des produits bio d'où $S=10$. Avec $p\left(\overline{T}\cap B\right)=\mathrm{0,03}$
      • Un ménage ne pratique pas le tri sélectif et ne consomme pas des produits bio d'où $S=0$. Avec $p\left(\overline{T}\cap \overline{B}\right)=1-\mathrm{0,73}=\mathrm{0,27}$

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      Ainsi, $S\in \left\{0;10;20;30\right\}$

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   2. Donner la loi de probabilité de S.

      $s_i$	0	10	20	30
      $p\left(S=s_i\right)$	0,27	0,03	0,42	0,28

   3. Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.

      $$E\left(S\right)=0\times \mathrm{0,27}+10\times \mathrm{0,03}+20\times \mathrm{0,42}+30\times \mathrm{0,28}=\mathrm{17,1}$$

      L'espérance mathématique de cette loi est égale à 17,1. La ville donnera en moyenne 17,1 € par ménage.

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