sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a : Étude d'un graphe probabiliste

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on note $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ la matrice ligne représentant l'état probabiliste lors de la partie n.

1. 1. Donner sans justification la matrice $P_1$.

      Alexis a 65 % de chances de gagner la partie 1 d'où : $$\begin{array}{ccc}{a}_1=\mathrm{0,65}& \text{et}& b_1=1-\mathrm{0,65}=\mathrm{0,35}\end{array}$$

      Soit $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,65}& \mathrm{0,35}\end{array}\right)$

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   2. Traduire la situation à l'aide d'un graphe probabiliste.

      • Si Alexis gagne la partie n, alors il a 10 % de chances de gagner la partie n + 1. D'où $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}$ et $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,9}$.

      • Si Alexis perd la partie n, alors il a 60 % de chances de gagner la partie n + 1. D'où $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,4}$.

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. On admet que la matrice de transition M associée au graphe probabiliste précédent est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$.

   1. Donner $M^2$(on pourra utiliser la calculatrice ; les coefficients de $M^2$ seront donnés sous forme décimale exacte).

      $$M^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,1}+\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,6}& \mathrm{0,1}\times \mathrm{0,9}+\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,6}\times \mathrm{0,1}+\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,6}& \mathrm{0,6}\times \mathrm{0,9}+\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$$

      $M^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$

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   2. En déduire la probabilité que Bilal gagne la partie 3, en justifiant la réponse (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie à 10^− 2).

      $$\begin{array}{ccc}{P}_3=P_1\times M^2& \text{Soit}& P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,65}& \mathrm{0,35}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)\hfill \\ & \iff & P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,65}\times \mathrm{0,55}+\mathrm{0,35}\times \mathrm{0,3}& \mathrm{0,65}\times \mathrm{0,45}+\mathrm{0,35}\times \mathrm{0,7}\end{array}\right)\hfill \\ & \iff & P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4625}& \mathrm{0,5375}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      Arrondie à 10^− 2 près, la probabilité que Bilal gagne la partie 3 est 0,54.

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3. Soit $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ la matrice correspondant à l'état stable (x et y sont des nombres réels tels que $x+y=1$).

   1. Déterminer les nombres x et y.

      Les termes de la matrice de tansition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$ indépendant de l'état initial.

      Nous avons $P=PM$ et $x+y=1$ alors $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\end{array}$ avec $x+y=1$. D'où x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,1}x+\mathrm{0,6}y\\ y& =& \mathrm{0,9}x+\mathrm{0,4}y\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,6}y& =& 0\\ -\mathrm{0,9}x+\mathrm{0,6}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}\end{array}$$

      Soit x et y solutions du système $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,6}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{1,5}x& =& \mathrm{0,6}\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,4}\\ y& =& \mathrm{0,6}\end{array}\end{array}$$

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

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   2. Interpréter ces deux valeurs.

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$. À long terme, la probabilité de gagner la partie est de 0,4 pour Alexis et 0,6 pour Bilal.

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partie b : Détermination d'un nombre chromatique

1. Déterminer un sous-graphe complet d'ordre 3. Que peut-on en déduire pour le nombre chromatique du graphe G ?

   Soit $\chi$ le nombre chromatique du graphe G.

   D-E-F est sous-graphe complet d'ordre 3 donc $\chi ⩾3$.

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2. Donner en justifiant un encadrement du nombre chromatique du graphe G.

   Le plus haut degré des sommets est 4 (sommet E) donc $\chi ⩽5$.

   Ainsi, $3⩽\chi ⩽5$

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3. Proposer une coloration du graphe (sans justification) puis en déduire le nombre chromatique du graphe G.

   On colorie le graphe à l'aide de l'algorithme de Welsh & Powell : Les sommets étant classés dans l'ordre des degrés décroissants E ; C ; D ; A ; B ; F : On attribue la couleur 1 aux sommets E et C ; la couleur 2 aux sommets D, A et B ; Le sommet F est adjacent aux sommets D et E on lui attribue la couleur 3.

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   Une coloration avec trois couleurs est possible et $3⩽\chi ⩽5$ donc le nombre chromatique du graphe est égal à 3.

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4. Proposer une répartition des enfants faisant intervenir un nombre minimal d'équipes.

   D'après la question précédente, une répartition en trois équipes est possible :$\left\{E;C\right\}$, $\left\{D;A;B\right\}$ et $\left\{F\right\}$. Pour équlibrer les équipes, une autre répartition est également possible en mettant A (ou B) avec F par exemple $\left\{E;C\right\}$, $\left\{D;A\right\}$ et $\left\{B;F\right\}$.

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