sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. 1. Représenter le nuage de points $\left(x_i;y_i\right)$ ($1⩽i⩽8$) associé à cette série dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
      sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 1 an ; sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 50.

   2. Un ajustement affine semble t-il approprié ?

      rappel :

      f est une fonction affine si, et seulement si, pour tous réels $x_1$ et $x_2$ distincts :$${\displaystyle \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}=a$$

      Or graphiquement, l'accroissement moyen de l'indice entre deux périodes consécutives $a_i={\displaystyle \frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}}$ n'est pas constant mais, croissant.

      Le taux d'accroissement de l'indice du PIB entre deux périodes consécutives augmente. Donc un ajustement affine n'est pas adapté.

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2. Pour $1⩽i⩽8$ on pose $z_i=\ln y_i$. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_i$ seront arrondies au centième).

   Rang de l'année : $x_i$ $1⩽i⩽8$	0	3	6	9	12	15	18	20
   $z_i=\ln y_i$ $1⩽i⩽8$	4,61	4,88	5,15	5,42	5,69	5,97	6,24	6,42

3. Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients arrondis au centième). Aucune justification n'est demandée.

   Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $z=\mathrm{0,09}x+\mathrm{4,61}$ (coefficients arrondis arrondis au centième).

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4. En déduire une estimation de l'indice du PIB de la Chine en 2012 d'après cet ajustement.

   Le rang de l'année 2012 est 27. Par conséquent, une estimation de l'indice y du PIB en 2012 est :$$\begin{array}{ccc}\ln \left(y\right)=\mathrm{0,09}\times 27+\mathrm{4,61}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{7,04}}\approx \mathrm{1141,39}\end{array}$$

   En 2012, l'indice du PIB de la Chine est estimé à 1141,39.

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5. Dans le cas général donner un ajustement exponentiel de y en fonction de x, sous la forme $y=a{\mathrm{e}}^{bx}$, les coefficients a et b étant arrondis au centième.

   $z=\mathrm{0,09}x+\mathrm{4,61}$ et, pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$ donc $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,09}x+\mathrm{4,61}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{4,61}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,09}x}\hfill \\ & \text{Soit}& y=\mathrm{100,48}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,09}x}\hfill \end{array}$$

   Une estimation de l'indice y du PIB de la Chine en fonction du rang x de l'année est $y=\mathrm{100,48}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,09}x}$ .

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