Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels . On note f sa fonction dérivée sur .
On appelle Cf sa courbe représentative, représentée en ANNEXE dans un repère orthonormé. On appelle (T) la tangente à Cf au point A de coordonnées 0-1.
On admet que la fonction f admet un maximum en x=3.

partie a

Cette partie est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte. Pour chacune des questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Il n'est pas demandé de justification.
Dans cette première partie, une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point ; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Question 1 :

D'après la représentation graphique de la fonction f, limx-fx=-

 a )  limx0fx=-

 b )  limx-fx=-

 c )  limx+fx=+

Question 2 : sur l'intervalle -17, fx vérifie :

La fonction f admet un maximum en x=3 d'où fx0 sur -3 et fx0 sur 3+

 a )  fx>0 sur 17

 b )  fx<0 sur -10

 c )  fx<0 sur 37

Question 3 : l'équation réduite de la tangente à la courbe Cf au point A est :

La tangente à la courbe Cf au point A0-1 n'est pas parallèle à l'axe des abscisses :

 a )  y=-1

 b )  y=x+1

 c )  y=1,5x-1

Question 4 :

L'intégrale 24fxdx est l'aire exprimée en unités d'aire du domaine compris entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2 et x=4

 a )  24fxdx=f4-f2

 b )  0,524fxdx1,5

 c )  24fxdx n'existe pas.

partie b

On considère la fonction g définie et dérivable sur l'ensemble des réels , telle que gx=-2x-2×e-0,5x. On note g sa fonction dérivée sur .

  1. Démontrer que pour tout x appartenant à , gx=x-1×e-0,5x.

    La fonction g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. g=uv+uv avec pour tout réel x : {ux=-2x-2;ux=-2vx=e-0,5x;vx=-0,5e-0,5x

    D'où :gx=-2e-0,5x-0,5e-0,5x-2x-2=-2e-0,5x+xe-0,5x+e-0,5x=xe-0,5x-e-0,5x=x-1×e-0,5x

    Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par gx=x-1×e-0,5x.


  2. Étudier le signe de g sur et en déduire les variations de g sur .

    Pour tout réel x, e-0,5x>0. Donc gx est du même signe que x-1.

    Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée :

    x- 1 +
    gx 0||+ 
    gx  fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -4e-0,5

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  3. Calculer limx-gx et limx+gx. (On utilisera le résultat suivant : limx+xe-0,5x=0).

    • limx--2x-2=+ et limx-e-0,5x=+ alors par produit limx-gx=+


    • Pour tout réel x,gx=-2x-2×e-0,5x=-2xe-0,5x-2e-0,5x

      limx+-2xe-0,5x=0 et limx+2e-0,5x=0 alors par somme limx+gx=0


  4. Construire la courbe représentative de g, notée Cg, dans le repère fourni en ANNEXE 1 (sur lequel est construite Cf ).

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  5. Donner graphiquement un encadrement par deux entiers consécutifs des coordonnées de I, point d'intersection des courbes Cf et Cg.

    Les coordonnées de I, point d'intersection des courbes Cf et Cg sont IxIyI avec -1<xI<0 et -2<yI<-1.


  6. On admet maintenant que g=f. Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point I.

    L'abscisse du point I est solution de l'équation :-2x-2×e-0,5x=x-1×e-0,5x-2x-2=x-1-3x=1x=-13

    D'autre part, f-13=-13-1×e0,53=-43×e16

    Les coordonnées du point I sont I-13-4e163.


  7. Calculer la valeur moyenne de f sur 01 ; on donnera d'abord sa valeur exacte puis sa valeur approchée à 10− 2 près.

    g=f donc la fonction g est une primitive de la fonction f.

    La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 01 est le nombre réel m défini par m=11-001fxdx=g1-g0=-4e-0,5+2

    La valeur moyenne de f sur 01 est m=2-4e-0,5. Soit arrondie à 10− 2 près, m-0,43.



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