Soit f une fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels . On note sa fonction dérivée sur .
On appelle sa courbe représentative, représentée en ANNEXE dans un repère orthonormé. On appelle (T) la tangente à au point A de coordonnées .
On admet que la fonction f admet un maximum en .
Cette partie est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte. Pour chacune des questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Il n'est pas demandé de justification.
Dans cette première partie, une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point ; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.
Question 1 :
D'après la représentation graphique de la fonction f,
a ) | b ) | c ) |
Question 2 : sur l'intervalle , vérifie :
La fonction f admet un maximum en d'où sur et sur
a ) sur | b ) sur | c ) sur |
Question 3 : l'équation réduite de la tangente à la courbe au point A est :
La tangente à la courbe au point n'est pas parallèle à l'axe des abscisses :
a ) | b ) | c ) |
Question 4 :
L'intégrale est l'aire exprimée en unités d'aire du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et
a ) | b ) | c ) n'existe pas. |
On considère la fonction g définie et dérivable sur l'ensemble des réels , telle que . On note sa fonction dérivée sur .
Démontrer que pour tout x appartenant à , .
La fonction g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. avec pour tout réel x :
D'où :
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x par .
Étudier le signe de sur et en déduire les variations de g sur .
Pour tout réel x, . Donc est du même signe que .
Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée :
x | 1 | ||||
− | + | ||||
Calculer et . (On utilisera le résultat suivant : ).
et alors par produit
Pour tout réel x,
et alors par somme
Construire la courbe représentative de g, notée , dans le repère fourni en ANNEXE 1 (sur lequel est construite ).
Donner graphiquement un encadrement par deux entiers consécutifs des coordonnées de I, point d'intersection des courbes et .
Les coordonnées de I, point d'intersection des courbes et sont avec et .
On admet maintenant que . Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point I.
L'abscisse du point I est solution de l'équation :
D'autre part,
Les coordonnées du point I sont .
Calculer la valeur moyenne de f sur ; on donnera d'abord sa valeur exacte puis sa valeur approchée à 10− 2 près.
donc la fonction g est une primitive de la fonction f.
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est le nombre réel m défini par
La valeur moyenne de f sur est . Soit arrondie à 10− 2 près, .
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