Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Le tableau ci-dessous donne la récolte de bois en France en 2005 en milliers de m3 suivant que l'on a affaire à des feuillus ou des conifères destinés au bois d' œuvre ou au bois d'industrie.

Source : Ministère de l'Agriculture et de la Pêche - SCEES 2005
 FeuillusConifèresTotal
Bois d'œuvre6 07614 80320 879
Bois d'industrie5 4136 80512 218
Total11 48921 60833 097

Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à 1 %.

À l'aide du tableau ci-dessus :

  1. Déterminer le pourcentage de feuillus dans la récolte totale.

    La part de feuillus dans la récolte totale est : 11489330970,347

    Les feuillus représentent 34,7% de la récolte totale.


  2. Déterminer, parmi les conifères, le pourcentage de bois destiné à l'industrie.

    La part de bois d'industrie parmi les conifères est : 6805216080,315

    31,5% des conifères sont destiné à l'industrie.


partie b

Chez un grossiste, les quatre catégories « feuillu - bois d'œuvre », « feuillu - bois d'industrie », « conifère - bois d'œuvre » et « conifère - bois d'industrie » sont réparties chacune dans différents lots de même volume.

On sait par ailleurs que :

  • 70 % des lots sont du bois de conifère ;
  • Parmi les lots de feuillus, 45 % sont destinés à l'industrie ;

Le grossiste prélève au hasard un lot (on suppose que tous les lots ont la même chance d'être choisis).

On considère les évènements :
F : « le lot est constitué de feuillus »,
C : « le lot est constitué de conifères »,
I : « le lot est destiné à l'industrie ».

  1. Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).

    • 70 % des lots sont du bois de conifère d'où pC=0,7 et pF=1-0,7=0,3.

    • Notons I¯ l'évènement « le lot est destiné au bois d'œuvre ». Parmi les lots de feuillus, 45 % sont destinés à l'industrie d'où pFI=0,45 et pFI¯=1-0,45=0,55.

    L'arbre pondéré traduisant la situation est :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La probabilité qu'un lot pris au hasard soit destiné au bois d'œuvre est de 0,585.

  2. Déterminer la probabilité de l'évènement IC . Interpréter ce résultat.

    Les évènements C et I sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :pB=pBA+pBA¯
    pI=pIC+pIFpIC=pI-pIF

    Or pI=1-pI¯SoitpI=1-0,585=0,415etpIF=pFI×pFSoitpIF=0,45×0,3=0,135

    D'où pIC==0,415-0,135=0,28

    pIC=0,28. 28 % des lots sont du bois de conifère destiné au bois d'industrie.


  3. Le lot pris au hasard est destiné à l'industrie. Quelle est la probabilité qu'il soit constitué de conifères ?

    pIC=pCIpISoitpIC=0,280,4150,675

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot destiné à l'industrie soit constitué de conifères est égale à 0,675.


  4. Quatre lots sont prélevés au hasard. Vue la grande quantité de lots présents chez le grossiste, on peut assimiler ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants.
    Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins un lot constitué de bois d'œuvre.

    On assimile ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants.

    Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de lots constitué de bois d'œuvre, X suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0,585.

    L'évènement «au moins un lot est constitué de bois d'œuvre» est l'évènement contraire de l'évènement «aucun des quatre lots n'est constitué de bois d'œuvre». D'où pX1=1-pX=0=1-0,41540,97

    Arrondie au centième près, la probabilité la probabilité qu'il y ait au moins un lot constitué de bois d'œuvre est 0,97.



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