Le tableau ci-dessous donne la récolte de bois en France en 2005 en milliers de m3 suivant que l'on a affaire à des feuillus ou des conifères destinés au bois d' œuvre ou au bois d'industrie.
Feuillus | Conifères | Total | |
Bois d'œuvre | 6 076 | 14 803 | 20 879 |
Bois d'industrie | 5 413 | 6 805 | 12 218 |
Total | 11 489 | 21 608 | 33 097 |
Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à 1 %.
À l'aide du tableau ci-dessus :
Déterminer le pourcentage de feuillus dans la récolte totale.
La part de feuillus dans la récolte totale est :
Les feuillus représentent 34,7% de la récolte totale.
Déterminer, parmi les conifères, le pourcentage de bois destiné à l'industrie.
La part de bois d'industrie parmi les conifères est :
31,5% des conifères sont destiné à l'industrie.
Chez un grossiste, les quatre catégories « feuillu - bois d'œuvre », « feuillu - bois d'industrie », « conifère - bois d'œuvre » et « conifère - bois d'industrie » sont réparties chacune dans différents lots de même volume.
On sait par ailleurs que :
Le grossiste prélève au hasard un lot (on suppose que tous les lots ont la même chance d'être choisis).
On considère les évènements :
F : « le lot est constitué de feuillus »,
C : « le lot est constitué de conifères »,
I : « le lot est destiné à l'industrie ».
Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).
70 % des lots sont du bois de conifère d'où et .
Notons l'évènement « le lot est destiné au bois d'œuvre ». Parmi les lots de feuillus, 45 % sont destinés à l'industrie d'où et .
L'arbre pondéré traduisant la situation est :
La probabilité qu'un lot pris au hasard soit destiné au bois d'œuvre est de 0,585.
Déterminer la probabilité de l'évènement . Interpréter ce résultat.
Les évènements C et I sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :
Or
D'où
. 28 % des lots sont du bois de conifère destiné au bois d'industrie.
Le lot pris au hasard est destiné à l'industrie. Quelle est la probabilité qu'il soit constitué de conifères ?
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot destiné à l'industrie soit constitué de conifères est égale à 0,675.
Quatre lots sont prélevés au hasard. Vue la grande quantité de lots présents chez le grossiste, on peut assimiler ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants.
Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins un lot constitué de bois d'œuvre.
On assimile ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de lots constitué de bois d'œuvre, X suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0,585.
L'évènement «au moins un lot est constitué de bois d'œuvre» est l'évènement contraire de l'évènement «aucun des quatre lots n'est constitué de bois d'œuvre». D'où
Arrondie au centième près, la probabilité la probabilité qu'il y ait au moins un lot constitué de bois d'œuvre est 0,97.
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