sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à 1 %.

À l'aide du tableau ci-dessus :

1. Déterminer le pourcentage de feuillus dans la récolte totale.

   La part de feuillus dans la récolte totale est : $${\displaystyle \frac{11489}{33097}}\approx \mathrm{0,347}$$

   Les feuillus représentent 34,7% de la récolte totale.

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2. Déterminer, parmi les conifères, le pourcentage de bois destiné à l'industrie.

   La part de bois d'industrie parmi les conifères est : $${\displaystyle \frac{6805}{21608}}\approx \mathrm{0,315}$$

   31,5% des conifères sont destiné à l'industrie.

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partie b

1. Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).

   • 70 % des lots sont du bois de conifère d'où $p\left(C\right)=\mathrm{0,7}$ et $p\left(F\right)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$.

   • Notons $\overline{I}$ l'évènement « le lot est destiné au bois d'œuvre ». Parmi les lots de feuillus, 45 % sont destinés à l'industrie d'où $p_F\left(I\right)=\mathrm{0,45}$ et $p_F\left(\overline{I}\right)=1-\mathrm{0,45}=\mathrm{0,55}$.

   L'arbre pondéré traduisant la situation est :

   La probabilité qu'un lot pris au hasard soit destiné au bois d'œuvre est de 0,585.

2. Déterminer la probabilité de l'évènement $I\cap C$ . Interpréter ce résultat.

   Les évènements C et I sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{ccc}p\left(I\right)=p\left(I\cap C\right)+p\left(I\cap F\right)& \iff & p\left(I\cap C\right)=p\left(I\right)-p\left(I\cap F\right)\end{array}$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(I\right)=1-p\left(\overline{I}\right)\hfill & \text{Soit}& p\left(I\right)=1-\mathrm{0,585}=\mathrm{0,415}\hfill \\ \text{et}& p\left(I\cap F\right)=p_F\left(I\right)\times p\left(F\right)\hfill & \text{Soit}& p\left(I\cap F\right)=\mathrm{0,45}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,135}\hfill \end{array}$$

   D'où $$p\left(I\cap C\right)==\mathrm{0,415}-\mathrm{0,135}=\mathrm{0,28}$$

   $p\left(I\cap C\right)=\mathrm{0,28}$. 28 % des lots sont du bois de conifère destiné au bois d'industrie.

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3. Le lot pris au hasard est destiné à l'industrie. Quelle est la probabilité qu'il soit constitué de conifères ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_I\left(C\right)={\displaystyle \frac{p\left(C\cap I\right)}{p\left(I\right)}}& \text{Soit}& p_I\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,415}}}\approx \mathrm{0,675}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot destiné à l'industrie soit constitué de conifères est égale à 0,675.

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4. Quatre lots sont prélevés au hasard. Vue la grande quantité de lots présents chez le grossiste, on peut assimiler ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants.
   Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins un lot constitué de bois d'œuvre.

   On assimile ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants.

   Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de lots constitué de bois d'œuvre, X suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0,585.

   L'évènement «au moins un lot est constitué de bois d'œuvre» est l'évènement contraire de l'évènement «aucun des quatre lots n'est constitué de bois d'œuvre». D'où $$\begin{array}{ccc}p\left(X⩾1\right)& =& 1-p\left(X=0\right)\hfill \\ & =& 1-{\mathrm{0,415}}^4\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,97}\hfill \end{array}$$

   Arrondie au centième près, la probabilité la probabilité qu'il y ait au moins un lot constitué de bois d'œuvre est 0,97.

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