Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Polynésie

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous présente l'évolution de l'indice du PIB de la Chine de 1985 à 2005, base 100 en 1985.

Source : Banque mondiale
Année 19851988199119941997200020032005
Rang de l'année : xi1i8036912151820
Indice du PIB : yi1i8100 131,29172,38226,32297,15390,13512,22614,16

On veut étudier l'évolution de l'indice du PIB y en fonction du rang de l'année x.

    1. Représenter le nuage de points xiyi (1i8) associé à cette série dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
      sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 1 an ;
      sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 50.

    2. Un ajustement affine semble t-il approprié ?

  1. Pour 1i8 on pose zi=lnyi. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de zi seront arrondies au centième).

    Rang de l'année : xi1i8036912151820
    zi=lnyi1i8
  2. Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients arrondis au centième). Aucune justification n'est demandée.

  3. En déduire une estimation de l'indice du PIB de la Chine en 2012 d'après cet ajustement.

  4. Dans le cas général donner un ajustement exponentiel de y en fonction de x, sous la forme y=aebx, les coefficients a et b étant arrondis au centième.


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Le tableau ci-dessous donne la récolte de bois en France en 2005 en milliers de m3 suivant que l'on a affaire à des feuillus ou des conifères destinés au bois d' œuvre ou au bois d'industrie.

Source : Ministère de l'Agriculture et de la Pêche - SCEES 2005
 FeuillusConifèresTotal
Bois d'œuvre6 07614 80320 879
Bois d'industrie5 4136 80512 218
Total11 48921 60833 097

Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à 1 %.

À l'aide du tableau ci-dessus :

  1. Déterminer le pourcentage de feuillus dans la récolte totale.

  2. Déterminer, parmi les conifères, le pourcentage de bois destiné à l'industrie.

partie b

Chez un grossiste, les quatre catégories « feuillu - bois d'œuvre », « feuillu - bois d'industrie », « conifère - bois d'œuvre » et « conifère - bois d'industrie » sont réparties chacune dans différents lots de même volume.

On sait par ailleurs que :

Le grossiste prélève au hasard un lot (on suppose que tous les lots ont la même chance d'être choisis).

On considère les évènements :
F : « le lot est constitué de feuillus »,
C : « le lot est constitué de conifères »,
I : « le lot est destiné à l'industrie ».

  1. Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).

    La probabilité qu'un lot pris au hasard soit destiné au bois d'œuvre est de 0,585.

  2. Déterminer la probabilité de l'évènement IC . Interpréter ce résultat.

  3. Le lot pris au hasard est destiné à l'industrie. Quelle est la probabilité qu'il soit constitué de conifères ?

  4. Quatre lots sont prélevés au hasard. Vue la grande quantité de lots présents chez le grossiste, on peut assimiler ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants.
    Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins un lot constitué de bois d'œuvre.


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le centre commercial Commerce Plus est implanté dans une ville. La première semaine, 80 % des habitants de la ville viennent faire leurs achats dans ce centre commercial, puis on constate dans les semaines suivantes que :

On cherche à étudier l'évolution de la répartition des visites des habitants dans le centre commercial sur plusieurs semaines. :

  1. On note A l'état : « l'habitant vient faire ses courses au centre commercial ».
    On note B l'état : « l'habitant ne vient pas faire ses courses au centre commercial ».

    1. Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste.

    2. On note M la matrice de transition de ce graphe. Vérifier que M=0,550,450,60,4

  2. On appelle Pn=anbn la matrice traduisant la répartition des habitants selon leur venue au centre commercial au cours de la n-ième semaine :

    • an représente la proportion d'habitants qui vient faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine
    • bn représente la proportion d'habitants qui ne vient pas faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine.

    Ainsi, on a P1=0,80,2.

    1. Calculer P2 et P3.

    2. Donner une interprétation de P3 en termes de répartition des habitants.

  3. Soit P=xy la matrice ligne de l'état probabiliste stable.

    1. Déterminer x et y. On donnera les valeurs exactes, puis les résultats arrondis au centième.

    2. Interpréter ces résultats.


exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire x mètres cube chaque jour ; on suppose que x appartient à l'intervalle 16.
Le coût total de production CT, exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité produite x : CTx=x22+4lnx+5,6pour  x16

  1. Vérifier que la fonction CT est strictement croissante sur l'intervalle 16.

  2. On note CMx le coût moyen de production en milliers d'euros du mètre cube pour une production journalière de x mètres cube, avec x16.
    On rappelle que CMx=CTxx.

    1. Écrire l'expression de CMx en fonction de x.

    2. On admet que la fonction CM est dérivable sur l'intervalle 16 et on appelle CM sa fonction dérivée.
      Calculer CMx et vérifier que CMx=x2-3,2-8lnx2x2 pour tout x de l'intervalle 16.

  3. Soit f la fonction définie sur l'intervalle 16 par fx=x2-3,2-8lnx.

    1. On admet que f est dérivable sur 16. Étudier les variations de f sur 16.

    2. Démontrer que l'équation fx=0 possède une solution unique α dans 26 ; déterminer une valeur approchée par excès à 10− 1 près de α.

    3. En déduire le signe de fx sur 16 (on ne demande pas de justification).

  4. On prendra pour α la valeur approchée trouvée à la question 3. b.

    1. En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction CM sur 16. Construire son tableau de variation (les valeurs dans le tableau seront arrondies au dixième).

    2. Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit ?

  5. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    Comment faut-il choisir le prix de vente du mètre cube de produit pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production choisie dans l'intervalle donné ?


exercice 4 ( 7 points ) commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels . On note f sa fonction dérivée sur .
On appelle Cf sa courbe représentative, représentée en ANNEXE dans un repère orthonormé. On appelle (T) la tangente à Cf au point A de coordonnées 0-1.
On admet que la fonction f admet un maximum en x=3.

partie a

Cette partie est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte. Pour chacune des questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Il n'est pas demandé de justification.
Dans cette première partie, une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point ; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.

Question 1 :

 a )  limx0fx=-

 b )  limx-fx=-

 c )  limx+fx=+

Question 2 : sur l'intervalle -17, fx vérifie :

 a )  fx>0 sur 17

 b )  fx<0 sur -10

 c )  fx<0 sur 37

Question 3 : l'équation réduite de la tangente à la courbe Cf au point A est :

 a )  y=-1

 b )  y=x+1

 c )  y=1,5x-1

Question 4 :

 a )  24fxdx=f4-f2

 b )  0,524fxdx1,5

 c )  24fxdx n'existe pas.

partie b

On considère la fonction g définie et dérivable sur l'ensemble des réels , telle que gx=-2x-2×e-0,5x. On note g sa fonction dérivée sur .

  1. Démontrer que pour tout x appartenant à , gx=x-1×e-0,5x.

  2. Étudier le signe de g sur et en déduire les variations de g sur .

  3. Calculer limx-gx et limx+gx. (On utilisera le résultat suivant : limx+xe-0,5x=0).

  4. Construire la courbe représentative de g, notée Cg, dans le repère fourni en ANNEXE 1 (sur lequel est construite Cf ).

  5. Donner graphiquement un encadrement par deux entiers consécutifs des coordonnées de I, point d'intersection des courbes Cf et Cg.

  6. On admet maintenant que g=f. Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point I.

  7. Calculer la valeur moyenne de f sur 01 ; on donnera d'abord sa valeur exacte puis sa valeur approchée à 10− 2 près.

annexe

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.



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