sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. On note A l'état : « l'habitant vient faire ses courses au centre commercial ».
   On note B l'état : « l'habitant ne vient pas faire ses courses au centre commercial ».

   1. Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste.

      Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, notons :

      • $A_n$ l'évènement : « l'habitant vient faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine » ;
      • $B_n$ l'évènement : «l'habitant ne vient pas faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine » ;

      • La probabilité qu'un habitant étant venu faire des achats dans le centre commercial y retourne la semaine suivante est égale à 0,55. D'où $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,55}$ et $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,45}$.

      • La probabilité qu'un habitant n'étant pas venu faire des achats dans le centre commercial y aille la semaine suivante est égale à 0,6. D'où $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,4}$.

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

   2. On note M la matrice de transition de ce graphe. Vérifier que $M=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$

      La matrice de transition M de ce graphe telle que $\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$.

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2. On appelle $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ la matrice traduisant la répartition des habitants selon leur venue au centre commercial au cours de la n-ième semaine :

   • $a_n$ représente la proportion d'habitants qui vient faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine
   • $b_n$ représente la proportion d'habitants qui ne vient pas faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine.

   Ainsi, on a $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)$.

   1. Calculer $P_2$ et $P_3$.

      Nous avons :$$\begin{array}{cccc}& P_2=P_1\times M\hfill & \text{Soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,56}& \mathrm{0,44}\end{array}\right)\hfill \\ \text{et}& P_3=P_2\times M\hfill & \text{Soit}& P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,56}& \mathrm{0,44}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,572}& \mathrm{0,428}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\end{array}\right)$ et $P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,572}& \mathrm{0,428}\end{array}\right)$.

      ---

   2. Donner une interprétation de $P_3$ en termes de répartition des habitants.

      57,2 % des habitants de la ville ont fait leurs achats dans ce centre commercial au cours de la troisième semaine.

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3. Soit $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ la matrice ligne de l'état probabiliste stable.

   1. Déterminer x et y. On donnera les valeurs exactes, puis les résultats arrondis au centième.

      Les termes de la matrice de tansition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$ indépendant de l'état initial.

      Nous avons $P=PM$ et $x+y=1$ alors $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\end{array}$ avec $x+y=1$. D'où x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,55}x+\mathrm{0,6}y\\ y& =& \mathrm{0,45}x+\mathrm{0,4}y\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,45}x-\mathrm{0,6}y& =& 0\\ -\mathrm{0,45}x+\mathrm{0,6}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}\end{array}$$

      Soit x et y solutions du système $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,45}x-\mathrm{0,6}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{1,05}x& =& \mathrm{0,6}\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{1,05}}}={\displaystyle \frac{4}{7}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{3}{7}}\end{array}\end{array}$$

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{4}{7}}& {\displaystyle \frac{3}{7}}\end{array}\right)$. Soit avec des valeurs approchées arrondies au centième $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,57}& \mathrm{0,43}\end{array}\right)$.

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   2. Interpréter ces résultats.

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,57}& \mathrm{0,43}\end{array}\right)$. À long terme, 57% des habitants de la ville font fait leurs achats dans ce centre commercial chaque semaine.
      Cet état est pratiquement atteint au bout de la troisième semaine.

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