Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le centre commercial Commerce Plus est implanté dans une ville. La première semaine, 80 % des habitants de la ville viennent faire leurs achats dans ce centre commercial, puis on constate dans les semaines suivantes que :

  • la probabilité qu'un habitant étant venu faire des achats dans le centre commercial y retourne la semaine suivante est égale à 0,55 ;
  • la probabilité qu'un habitant n'étant pas venu faire des achats dans le centre commercial y aille la semaine suivante est égale à 0,6.

On cherche à étudier l'évolution de la répartition des visites des habitants dans le centre commercial sur plusieurs semaines. :

  1. On note A l'état : « l'habitant vient faire ses courses au centre commercial ».
    On note B l'état : « l'habitant ne vient pas faire ses courses au centre commercial ».

    1. Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste.

      Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, notons :

      • An l'évènement : « l'habitant vient faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine » ;
      • Bn l'évènement : «l'habitant ne vient pas faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine » ;
      • La probabilité qu'un habitant étant venu faire des achats dans le centre commercial y retourne la semaine suivante est égale à 0,55. D'où pAnAn+1=0,55 et pAnBn+1=0,45.

      • La probabilité qu'un habitant n'étant pas venu faire des achats dans le centre commercial y aille la semaine suivante est égale à 0,6. D'où pBnAn+1=0,6 et pBnBn+1=0,4.

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

      Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. On note M la matrice de transition de ce graphe. Vérifier que M=0,550,450,60,4

      La matrice de transition M de ce graphe telle que an+1bn+1=anbn×M est : M=0,550,450,60,4.


  2. On appelle Pn=anbn la matrice traduisant la répartition des habitants selon leur venue au centre commercial au cours de la n-ième semaine :

    • an représente la proportion d'habitants qui vient faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine
    • bn représente la proportion d'habitants qui ne vient pas faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine.

    Ainsi, on a P1=0,80,2.

    1. Calculer P2 et P3.

      Nous avons :P2=P1×MSoitP2=0,80,2×0,550,450,60,4=0,560,44etP3=P2×MSoitP3=0,560,44×0,550,450,60,4=0,5720,428

      Ainsi, P2=0,550,45 et P3=0,5720,428.


    2. Donner une interprétation de P3 en termes de répartition des habitants.

      57,2 % des habitants de la ville ont fait leurs achats dans ce centre commercial au cours de la troisième semaine.


  3. Soit P=xy la matrice ligne de l'état probabiliste stable.

    1. Déterminer x et y. On donnera les valeurs exactes, puis les résultats arrondis au centième.

      Les termes de la matrice de tansition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état Pn converge vers un état stable P=xy avec x+y=1 indépendant de l'état initial.

      Nous avons P=PM et x+y=1 alors xy=xy×0,550,450,60,4 avec x+y=1. D'où x et y sont solutions du système {x=0,55x+0,6yy=0,45x+0,4yx+y=1{0,45x-0,6y=0-0,45x+0,6y=0x+y=1

      Soit x et y solutions du système {0,45x-0,6y=0x+y=1{1,05x=0,6x+y=1{x=0,61,05=47y=37

      L'état stable du système est P=4737. Soit avec des valeurs approchées arrondies au centième P=0,570,43.


    2. Interpréter ces résultats.

      L'état stable du système est P=0,570,43. À long terme, 57% des habitants de la ville font fait leurs achats dans ce centre commercial chaque semaine.
      Cet état est pratiquement atteint au bout de la troisième semaine.



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