Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le centre commercial Commerce Plus est implanté dans une ville. La première semaine, 80 % des habitants de la ville viennent faire leurs achats dans ce centre commercial, puis on constate dans les semaines suivantes que :

On cherche à étudier l'évolution de la répartition des visites des habitants dans le centre commercial sur plusieurs semaines. :

  1. On note A l'état : « l'habitant vient faire ses courses au centre commercial ».
    On note B l'état : « l'habitant ne vient pas faire ses courses au centre commercial ».

    1. Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste.

    2. On note M la matrice de transition de ce graphe. Vérifier que M=0,550,450,60,4

  2. On appelle Pn=anbn la matrice traduisant la répartition des habitants selon leur venue au centre commercial au cours de la n-ième semaine :

    • an représente la proportion d'habitants qui vient faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine
    • bn représente la proportion d'habitants qui ne vient pas faire ses courses au centre commercial au cours de la n-ième semaine.

    Ainsi, on a P1=0,80,2.

    1. Calculer P2 et P3.

    2. Donner une interprétation de P3 en termes de répartition des habitants.

  3. Soit P=xy la matrice ligne de l'état probabiliste stable.

    1. Déterminer x et y. On donnera les valeurs exactes, puis les résultats arrondis au centième.

      Les termes de la matrice de tansition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état Pn converge indépendamment de l'état initial, vers un état stable P=xy avec P=PM et x+y=1.

    2. Interpréter ces résultats.


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