sujet : Liban 2013

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

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1. Parmi toutes les fonctions définies sur $\left]0;+\infty \right[$ , et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :

   La dérivée de la fonction polynôme du second degré f définie par $f\left(x\right)=x^2+x+5$ est définie par $f\prime \left(x\right)=2x+1$ . La fonction $f\prime$ est croissante donc f est convexe.

   a.   $x^3-3x^2+4$

   b.   $\ln \left(x\right)$

   c.   $-{\mathrm{e}}^x$

   d.   $x^2+x+5$

2. Une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$ définie par $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ est la fonction F définie par :

   La dérivée de la fonction F définie par $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x$ est :$$F\prime \left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1=\ln \left(x\right)$$

   Ainsi, pour tout réel strictement positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction f.

   a.   $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

   b.   $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x$

   c.   $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)$

   d.   $F\left(x\right)=\ln \left(x\right)$

3. La valeur exacte de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x}$ est égale à :

   Une primitive de la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{2x}$ est la fonction F définie par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{e}}^{2x}$ . Par conséquent, $${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{e}}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{e}}^0={\displaystyle \frac{1}{2}}\left({\mathrm{e}}^2-1\right)$$

   a.   3,19

   b.   ${\mathrm{e}}^2-1$

   c.   ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^2$

   d.   ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left({\mathrm{e}}^2-1\right)$

4. Si une variable aléatoire X suit la loi normale $𝒩\left(1;4\right)$ , alors une valeur approchée au centième de $P\left(2⩽X⩽3\right)$ est :

   X suit la loi normale d'espérance $\mu =1$ et d'écart-type $\sigma =\sqrt{4}=2$ . Avec la calculatrice on trouve : $$P\left(2⩽X⩽3\right)\approx \mathrm{0,15}$$

   a.   0,15

   b.   0,09

   c.   0,34

   d.   0,13

5. Dans une commune comptant plus de 100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.
   L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :

   La fréquence observée est $f=\mathrm{0,55}$ pour un échantillon de taille 100. Nous avons $n=100$ , $nf=55$ et $n\left(1-f\right)=45$ .

   Les conditions d'approximation sont vérifiées d'où l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est $$\begin{array}{ccc}I=\left[\mathrm{0,55}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{100}}};\mathrm{0,55}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{100}}}\right]& \text{Soit}& I=\left[\mathrm{0,45};\mathrm{0,65}\right]\end{array}$$

   a.   $\left[\mathrm{0,35};\mathrm{0,75}\right]$

   b.   $\left[\mathrm{0,40};\mathrm{0,70}\right]$

   c.   $\left[\mathrm{0,45};\mathrm{0,65}\right]$

   d.   $\left[\mathrm{0,50};\mathrm{0,60}\right]$

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   remarque :

   Lorsque les conditions d'approximation $n⩾30$ , $nf⩾5$ et $n\left(1-f\right)⩾5$ sont vérifiées, l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 donné en terminale ES est $I=\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ .

   Avec un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 donné par $I=\left[f-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{f\left(1-f\right)}{n}}};f+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{f\left(1-f\right)}{n}}}\right]$ on trouve : $$I=\left[\mathrm{0,55}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,45}}{100}}};\mathrm{0,55}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,45}}{100}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,45};\mathrm{0,65}\right]$$

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