Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban 2013

Corrigé de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un propriétaire d'une salle louant des terrains de squash s'interroge sur le taux d'occupation de ses terrains. Sachant que la location d'un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine). Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses.

Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s'apercevoir que :

  • lorsque l'heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés ;
  • lorsque l'heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés.

On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements :

  • C : « l'heure est creuse »
  • T : « le terrain est occupé »
  1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités.

    • 70 % des heures sont creuses d'où PC=0,7 et PC¯=1-0,7=0,3
    • lorsque l'heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés d'où PCT=0,2
    • lorsque l'heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés d'où PC¯T=0,9

    D'où l'arbre pondéré décrivant la situation :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse.

    PTC=PCT×PC=0,2×0,7=0,14

    La probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse est égale à 0,14.


  3. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé.

    Les évènements C et T sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :pB=pBA+pBA¯
    PT=PCT+PC¯T

    Or : PC¯T=PC¯T×PC¯soitPC¯T=0,9×0,3=0,27

    D'où PT=0,14+0,27=0,41

    La probabilité que le terrain soit occupé est égale à 0,41.


  4. Montrer que la probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à 2741.

    PTC¯=PC¯TPTSoitPTC¯=0,270,41=2741

    La probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à 2741.


Dans le but d'inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d'un terrain, des tarifs différenciés :

  • 10 € pour une heure pleine,
  • 6 € pour une heure creuse.

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d'un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :

  • 10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine,
  • 6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse,
  • 0 lorsque le terrain n'est pas occupé.
  1. Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de X.

    • PTC=0,14 d'où PX=6=0,14

    • PC¯T=0,27 d'où PX=10=0,27

    • PT¯=1-PT=0,59 d'où PX=0=0,59

    La loi de probabilité de X est :

    xi0610
    PX=xi0,590,140,27
  2. Déterminer l'espérance de X.

    L'espérance mathématique de cette loi est :EX=0×0,59+6×0,14+10×0,27=3,54

    L'espérance de X est égale à 3,54.


  3. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle.

    Le montant de la recette moyenne est :10×70×3,54=2478

    La recette hebdomadaire moyenne est de 2478 €.



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