sujet : Liban 2013

Corrigé de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités.

   • 70 % des heures sont creuses d'où $P\left(C\right)=\mathrm{0,7}$ et $P\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$
   • lorsque l'heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés d'où $P_C\left(T\right)=\mathrm{0,2}$
   • lorsque l'heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés d'où $P_{\overline{C}}\left(T\right)=\mathrm{0,9}$

   D'où l'arbre pondéré décrivant la situation :

2. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(T\cap C\right)& =& P_C\left(T\right)\times P\left(C\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,2}\times \mathrm{0,7}\hfill \\ & =& \mathrm{0,14}\hfill \end{array}$$

   La probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse est égale à 0,14.

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3. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé.

   Les évènements C et T sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(T\right)=P\left(C\cap T\right)+P\left(\overline{C}\cap T\right)$$

   Or : $$\begin{array}{ccc}P\left(\overline{C}\cap T\right)=P_{\overline{C}}\left(T\right)\times P\left(\overline{C}\right)& \text{soit}& P\left(\overline{C}\cap T\right)=\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,27}\end{array}$$

   D'où $$P\left(T\right)=\mathrm{0,14}+\mathrm{0,27}=\mathrm{0,41}$$

   La probabilité que le terrain soit occupé est égale à 0,41.

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4. Montrer que la probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à ${\displaystyle \frac{27}{41}}$ .

   $$\begin{array}{ccc}{P}_T\left(\overline{C}\right)={\displaystyle \frac{P\left(\overline{C}\cap T\right)}{P\left(T\right)}}& \text{Soit}& P_T\left(\overline{C}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,27}}{\mathrm{0,41}}}={\displaystyle \frac{27}{41}}\end{array}$$

   La probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à ${\displaystyle \frac{27}{41}}$ .

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1. Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de X.

   • $P\left(T\cap C\right)=\mathrm{0,14}$ d'où $P\left(X=6\right)=\mathrm{0,14}$

   • $P\left(\overline{C}\cap T\right)=\mathrm{0,27}$ d'où $P\left(X=10\right)=\mathrm{0,27}$

   • $P\left(\overline{T}\right)=1-P\left(T\right)=\mathrm{0,59}$ d'où $P\left(X=0\right)=\mathrm{0,59}$

   La loi de probabilité de X est :

   $x_i$	0	6	10
   $P\left(X=x_i\right)$	0,59	0,14	0,27

2. Déterminer l'espérance de X.

   L'espérance mathématique de cette loi est :$$\mathrm{E}\left(X\right)=0\times \mathrm{0,59}+6\times \mathrm{0,14}+10\times \mathrm{0,27}=\mathrm{3,54}$$

   L'espérance de X est égale à 3,54.

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3. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle.

   Le montant de la recette moyenne est :$$10\times 70\times \mathrm{3,54}=2478$$

   La recette hebdomadaire moyenne est de 2478 €.

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