Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Liban 2013

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction C définie sur l'intervalle $[5; 60]$ par $C (x) = \frac{e^{0,1 x} + 20}{x}$ .

On désigne par $C'$ la dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout $x \in [5; 60]$ , $C' (x) = \frac{0,1 x e^{0,1 x} - e^{0,1 x} - 20}{x^{2}}$ .
On considère la fonction f définie sur $[5; 60]$ par $f (x) = 0,1 x e^{0,1 x} - e^{0,1 x} - 20$ .
1. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur $[5; 60]$ .
2. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ possède une unique solution α dans $[5; 60]$ .
3. Donner un encadrement à l'unité de α.
4. En déduire le tableau de signes de $f (x)$ sur $[5; 60]$ .
En déduire le tableau de variations de C sur $[5; 60]$ .
En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :
Déterminer les valeurs apprchées de $C (5)$ , $C (α)$ et $C (60)$ puis, utiliser théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ .
1. $C (x) = 2$
2. $C (x) = 5$

partie b

Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l'intervalle $[5; 60]$ .
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.

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