Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban 2013

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction C définie sur l'intervalle 560 par Cx=e0,1x+20x .

  1. On désigne par C la dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout x560, Cx=0,1xe0,1x-e0,1x-20x2.

  2. On considère la fonction f définie sur 560 par fx=0,1xe0,1x-e0,1x-20.

    1. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur 560.

    2. Montrer que l'équation fx=0 possède une unique solution α dans 560.

    3. Donner un encadrement à l'unité de α.

    4. En déduire le tableau de signes de fx sur 560.

  3. En déduire le tableau de variations de C sur 560.

  4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

    Déterminer les valeurs apprchées de C5, Cα et C60 puis, utiliser théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle ab, alors pour tout réel k compris entre fa et fb, l'équation fx=k admet une solution unique α située dans l'intervalle ab.

    1. Cx=2

    2. Cx=5

partie b

Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l'intervalle 560.
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.


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