Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction C définie sur l'intervalle 560 par Cx=e0,1x+20x .

  1. On désigne par C la dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout x560, Cx=0,1xe0,1x-e0,1x-20x2.

    La fonction C est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. C=uv d'où C=uv-uvv2 avec pour tout réel x de l'intervalle 560, ux=e0,1x+20d'oùux=0,1e0,1xetvx=xd'oùvx=1

    Soit pour tout réel x de l'intervalle 560, Cx=0,1e0,1x×x-e0,1x+20x2=0,1xe0,1x-e0,1x-20x2

    Ainsi, C est la fonction définie sur l'intervalle 560 par Cx=0,1xe0,1x-e0,1x-20x2.


  2. On considère la fonction f définie sur 560 par fx=0,1xe0,1x-e0,1x-20.

    1. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur 560.

      f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables et pour tout réel x de l'intervalle 560, fx=0,1e0,1x+0,01xe0,1x-0,1e0,1x=0,01xe0,1x

      Or pour tout réel x strictement positif, 0,01xe0,1x>0

      Sur l'intervalle 560, fx>0 donc la fonction f est strictement croissante sur 560.


    2. Montrer que l'équation fx=0 possède une unique solution α dans 560.

      La fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante sur l'intervalle 560 et f5=0,5e0,5-e0,5-20-20,8 et f60=6e6-e6-201997 alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle ab, alors pour tout réel k compris entre fa et fb, l'équation fx=k admet une solution unique α située dans l'intervalle ab.

      L'équation fx=0 admet une unique solution α560.


    3. Donner un encadrement à l'unité de α.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve 25α26.


    4. En déduire le tableau de signes de fx sur 560.

      La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle 560 et fα=0 d'où le tableau du signe de fx :

      x5α60
      fx0||+

  3. En déduire le tableau de variations de C sur 560.

    Sur l'intervalle 560x2>0 donc Cx est du même signe que fx sur cet intervalle.

    les variations de C se déduisent du signe de dérivée d'où le tableau

    x5α60
    Cx0||+
    Cx fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

    1. Cx=2

      La fonction C est dérivable donc continue, monotone sur chacun des intervalles 5α ou α60 et d'autre part, C5=e0,5+20204,3, Cα1,29 et C60=e6+20607,1

      On applique le théorème de la valeur intermédiaire sur chacun des intervalles 5α ou α60 :

      L'équation Cx=2 admet deux solutions une dans l'intervalle 5α et l'autre dans l'intervalle α60.


    2. Cx=5

      Sur l'intervalle 5α la fonction C est strictement décroissante donc pour tout réel x de cet intervalle, CxC5.
      Par conséquent, l'équation Cx=5 n'a pas de solution dans l'intervalle 5α.

      Les hyopthèses du théorème de la valeur intermédiaire ne sont vérifiées α60 :

      L'équation Cx=5 admet une seule solution dans l'intervalle α60.



partie b

Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l'intervalle 560.
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.

D'après l'étude de la partie A, le minimum de la fonction coût moyen de fabrication est atteint pur une production de α vélos de course avec 25α26.

Or C251,2873 et C261,2871

Le coût de fabrication moyen est minimal pour une production de 26 vélos.


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