Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Liban 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction C définie sur l'intervalle $[5; 60]$ par $C (x) = \frac{e^{0,1 x} + 20}{x}$ .

On désigne par $C'$ la dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout $x \in [5; 60]$ , $C' (x) = \frac{0,1 x e^{0,1 x} - e^{0,1 x} - 20}{x^{2}}$ .
La fonction C est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $C = \frac{u}{v}$ d'où $C' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[5; 60]$ , $\begin{matrix} u (x) = e^{0,1 x} + 20 & d'où & u' (x) = 0,1 e^{0,1 x} \\ et & v (x) = x & d'où & v' (x) = 1 \end{matrix}$
Soit pour tout réel x de l'intervalle $[5; 60]$ , $\begin{matrix} C' (x) & = & \frac{0,1 e^{0,1 x} \times x - (e^{0,1 x} + 20)}{x^{2}} \\ = & \frac{0,1 x e^{0,1 x} - e^{0,1 x} - 20}{x^{2}} \end{matrix}$
Ainsi, $C'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[5; 60]$ par $C' (x) = \frac{0,1 x e^{0,1 x} - e^{0,1 x} - 20}{x^{2}}$ .
On considère la fonction f définie sur $[5; 60]$ par $f (x) = 0,1 x e^{0,1 x} - e^{0,1 x} - 20$ .
1. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur $[5; 60]$ .
  f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables et pour tout réel x de l'intervalle $[5; 60]$ , $\begin{matrix} f' (x) & = & (0,1 e^{0,1 x} + 0,01 x e^{0,1 x}) - 0,1 e^{0,1 x} \\ = & 0,01 x e^{0,1 x} \end{matrix}$
  Or pour tout réel x strictement positif, $0,01 x e^{0,1 x} > 0$
  Sur l'intervalle $[5; 60]$ , $f' (x) > 0$ donc la fonction f est strictement croissante sur $[5; 60]$ .
2. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ possède une unique solution α dans $[5; 60]$ .
  La fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante sur l'intervalle $[5; 60]$ et $f (5) = 0,5 e^{0,5} - e^{0,5} - 20 \approx - 20,8$ et $f (60) = 6 e^{6} - e^{6} - 20 \approx 1997$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ .
  L'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [5; 60]$ .
3. Donner un encadrement à l'unité de α.
  À l'aide de la calculatrice, on trouve $25 ⩽ α ⩽ 26$ .
4. En déduire le tableau de signes de $f (x)$ sur $[5; 60]$ .
  La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $[5; 60]$ et $f (α) = 0$ d'où le tableau du signe de $f (x)$ :
  x 5 $α$ 60
  $f (x)$ − $0_{|}^{|}$ +
En déduire le tableau de variations de C sur $[5; 60]$ .
Sur l'intervalle $[5; 60]$ , $x^{2} > 0$ donc $C' (x)$ est du même signe que $f (x)$ sur cet intervalle.
les variations de C se déduisent du signe de dérivée d'où le tableau
x 5 $α$ 60
$C (x)$ − $0_{|}^{|}$ +
$C (x)$
En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :
1. $C (x) = 2$
  La fonction C est dérivable donc continue, monotone sur chacun des intervalles $[5; α]$ ou $[α; 60]$ et d'autre part, $C (5) = \frac{e^{0,5} + 20}{20} \approx 4,3$ , $C (α) \approx 1,29$ et $C (60) = \frac{e^{6} + 20}{60} \approx 7,1$
  On applique le théorème de la valeur intermédiaire sur chacun des intervalles $[5; α]$ ou $[α; 60]$ :
  L'équation $C (x) = 2$ admet deux solutions une dans l'intervalle $[5; α]$ et l'autre dans l'intervalle $[α; 60]$ .
2. $C (x) = 5$
  Sur l'intervalle $[5; α]$ la fonction C est strictement décroissante donc pour tout réel x de cet intervalle, $C (x) ⩽ C (5)$ .
  Par conséquent, l'équation $C (x) = 5$ n'a pas de solution dans l'intervalle $[5; α]$ .
  Sur l'intervalle $[α; 60]$ la fonction C est continue, strictement croissante et $C (α) < 5 < C (60)$ , les hypothèses du théorème de la valeur intermédiaire sont vérifiées donc :
  L'équation $C (x) = 5$ admet une seule solution dans l'intervalle $[α; 60]$ .

partie b

Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l'intervalle $[5; 60]$ .
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.

D'après l'étude de la partie A, le minimum de la fonction coût moyen de fabrication est atteint pur une production de α vélos de course avec $25 ⩽ α ⩽ 26$ .

Or $C (25) \approx 1,2873$ et $C (26) \approx 1,2871$

Le coût de fabrication moyen est minimal pour une production de 26 vélos.

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x	5		$α$		60
$f (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+

x	5		$α$		60
$C (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$C (x)$