Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban 2013

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

  1. Parmi toutes les fonctions définies sur 0+, et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :

     a.   x3-3x2+4

     b.   lnx

     c.   -ex

     d.   x2+x+5

  2. Une primitive de f sur 0+ définie par fx=lnx est la fonction F définie par :

     a.   Fx=1x

     b.   Fx=xlnx-x

     c.   Fx=xlnx

     d.   Fx=lnx

  3. La valeur exacte de l'intégrale 01e2xdx est égale à :

     a.   3,19

     b.   e2-1

     c.   12e2

     d.   12e2-1

  4. Si une variable aléatoire X suit la loi normale 𝒩14, alors une valeur approchée au centième de P2X3 est :

     a.   0,15

     b.   0,09

     c.   0,34

     d.   0,13

  5. Dans une commune comptant plus de 100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.
    L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :

     a.   0,350,75

     b.   0,400,70

     c.   0,450,65

     d.   0,500,60


EXERCICE 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

partie a

On considère la suite un la suite définie par u0=10 et pour tout entier naturel n, un+1=0,9un+1,2 .

  1. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-12.

    1. Démontrer que la suite vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer vn, en fonction de n.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=12-2×0,9n.

  2. Déterminer la limite de la suite vn et en déduire celle de la suite un.

partie b

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :

  1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite unun désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012 + n.

  2. Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
    Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année 2012 + n.

    variables

    a , i, n

    initialisation

    Choisir n
    a prend la valeur 10

    traitement

    Pour i allant de 1 à n,
    a prend la valeur ...

    sortie

    Afficher a

    1. Résoudre l'inéquation 12-2×0,9n>11,5

    2. En donner une interprétation.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction C définie sur l'intervalle 560 par Cx=e0,1x+20x .

  1. On désigne par C la dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout x560, Cx=0,1xe0,1x-e0,1x-20x2.

  2. On considère la fonction f définie sur 560 par fx=0,1xe0,1x-e0,1x-20.

    1. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur 560.

    2. Montrer que l'équation fx=0 possède une unique solution α dans 560.

    3. Donner un encadrement à l'unité de α.

    4. En déduire le tableau de signes de fx sur 560.

  3. En déduire le tableau de variations de C sur 560.

  4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

    1. Cx=2

    2. Cx=5

partie b

Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l'intervalle 560.
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.


EXERCICE 4 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un propriétaire d'une salle louant des terrains de squash s'interroge sur le taux d'occupation de ses terrains. Sachant que la location d'un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine). Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses.

Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s'apercevoir que :

On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements :

  1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités.

  2. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse.

  3. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé.

  4. Montrer que la probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à 2741.

Dans le but d'inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d'un terrain, des tarifs différenciés :

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d'un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :

  1. Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de X.

  2. Déterminer l'espérance de X.

  3. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle.


EXERCICE 4 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France :
Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z).

graphe

Carte d'après IGN 2012 - Licence ouverte

  1. Pour cette question, on justifiera chaque réponse.

    1. Déterminer l'ordre du graphe.

    2. Déterminer si le graphe est connexe.

    3. Déterminer si le graphe est complet.

  2. Un touriste atterrit à l'aéroport de Lyon et loue une voiture.
    Déterminer, en justifiant, s'il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute.

  3. Il décide finalement d'aller seulement de Lyon à Biarritz.
    On note N la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique : B, C, L, M, P, R, T, V, Z.
    Voici les matrices N et N3 : N=000001101001011000 010000010000010010010100110110000100100011001 001110000100000100etN3=421136615205286113150210350122252141381521871660212832613188416115473121530112612

    1. En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice N4.

    2. En donner une interprétation.

  4. Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix des péages en euro.

    Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz.

    2. Déterminer le coût, en euro, de ce trajet.



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