sujet : Liban 2013

énoncé de l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France :
Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z).

1. Pour cette question, on justifiera chaque réponse.

   1. Déterminer l'ordre du graphe.

   2. Déterminer si le graphe est connexe.

   3. Déterminer si le graphe est complet.

2. Un touriste atterrit à l'aéroport de Lyon et loue une voiture.
   Déterminer, en justifiant, s'il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute.

3. Il décide finalement d'aller seulement de Lyon à Biarritz.
   On note N la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique : B, C, L, M, P, R, T, V, Z.
   Voici les matrices N et $N^3$ : $$\begin{array}{ccc}N=\left(\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0& 0& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right)& \text{et}& N^3=\left(\begin{array}{ccccccccc}4& 2& 1& 1& 3& 6& 6& 1& 5\\ 2& 0& 5& 2& 8& 6& 1& 1& 3\\ 1& 5& 0& 2& 1& 0& 3& 5& 0\\ 1& 2& 2& 2& 5& 2& 1& 4& 1\\ 3& 8& 1& 5& 2& 1& 8& 7& 1\\ 6& 6& 0& 2& 1& 2& 8& 3& 2\\ 6& 1& 3& 1& 8& 8& 4& 1& 6\\ 1& 1& 5& 4& 7& 3& 1& 2& 1\\ 5& 3& 0& 1& 1& 2& 6& 1& 2\end{array}\right)\end{array}$$

   1. En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice $N^4$ .

   2. En donner une interprétation.

4. Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix des péages en euro.

   1. À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz.

   2. Déterminer le coût, en euro, de ce trajet.

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