sujet : Polynésie 2013

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

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On considère la fonction f définie sur $ℝ$ par : $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-x}$.

1. L'image $f\left(\ln 2\right)$ de $\ln 2$ par f est égale à :

   $$f\left(\ln 2\right)=\ln 2\times {\mathrm{e}}^{-\ln 2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{{\mathrm{e}}^{\ln 2}}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{2}}$$

   a.   $\ln 2$

   b.   $-2\ln 2$

   c.   $2\ln 2$

   d.   ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2$

2. f est dérivable sur $ℝ$ et on note $f\prime$ sa fonction dérivée. Alors, pour tout nombre réel f, on a :

   f est dérivable sur $ℝ$ comme produit de deux fonctions dérivables. $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}-x{\mathrm{e}}^{-x}=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^{-x}$$

   a.   $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}$

   b.   $f\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}$

   c.   $f\prime \left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^{-x}$

   d.   $f\prime \left(x\right)=\left(1+x\right){\mathrm{e}}^{-x}$

3. L'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 est :

   Une équation de la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 est : $$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Comme $f\prime \left(0\right)=1$ et $f\left(0\right)=0$, la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 a pour équation $y=x$.

   a.   $y=2x$

   b.   $y=x-1$

   c.   $y=x$

   d.   $y=2x-1$

4. La fonction f est :

   La convexité de la fonction f se déduit des variations de sa dérivée.

   $f\prime$ est dérivable sur $ℝ$ comme produit de deux fonctions dérivables. $f\prime =uv$ d'où $f\prime \prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=1-x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$f\prime \prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}-\left(1-x\right){\mathrm{e}}^{-x}=\left(x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}$$

   Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$, $f\prime \prime \left(x\right)$ est du même signe que $x-2$. Nous pouvons déduire la convexité de la fonction f du signe de sa dérivée seconde.

   x	− ∞		2		$+\infty$
   Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   variations de $f\prime$
   Convexité de f		f est concave		f est convexe

   ---

   a.   concave sur $\left[0;1\right]$

   b.   concave sur $\left[0;+\infty \right[$

   c.   convexe sur $\left[0;+\infty \right[$

   d.   convexe sur $\left[0;1\right]$

5. L'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à :

   L'intégration par parties n'est pas au programme en terminale ES, par conséquent, il n'est pas possible de déterminer une primitive de la fonction f.

   Pour répondre à cette question :

   • Soit on utilise la calculatrice afin de déterminer une valeur approchée de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\approx \mathrm{0,264}$ ce qui permet d'éliminer les réponses a, b et d.

   • Soit on utilise les propriétés de l'intégrale

     D'après le signe de la dérivée $f\prime \left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^{-x}$, la fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ d'où pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$ nous avons $f\left(0\right)⩽f\left(x\right)⩽f\left(1\right)$ soit $0⩽f\left(x\right)⩽{\mathrm{e}}^{-1}$. Par conséquent, $$\begin{array}{ccc}0⩽{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\mathrm{d}x}& \iff & 0⩽{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽{\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}\right]}_0^1}\hfill \\ & \iff & 0⩽{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\hfill \end{array}$$

     Les réponses a, b et d sont donc fausses.

   a.   $\mathrm{e}-5$

   b.   5

   c.   ${\displaystyle \frac{\mathrm{e}-2}{\mathrm{e}}}$

   d.   1

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