sujet : Polynésie 2013

énoncé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes

Alors qu'une entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente B est autorisée à s'implanter.
Lors de l'ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d'accès B, l'entreprise A possède 90% du marché et l'entreprise B possède le reste du marché.
Dans cet exercice, on suppose que chaque année, chaque internaute est client d'une seule entreprise A ou B.
On observe à partir de 2010 que chaque année, 15% des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise B, et 10% des clients de l'entreprise B deviennent des clients de l'entreprise A.
Pour tout entier naturel n, on note $a_n$ la probabilité qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l'entreprise A pour l'année 2010 + n, et $b_n$, la probabilité pour que son fournisseur d'accès en 2010 + n soit l'entreprise B.
On note $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 2010 + n et on a ainsi $a_0=\mathrm{0,9}$ et $b_0=\mathrm{0,1}$.

partie a

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

2. 1. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.

   2. Montrer qu'en 2013, l'état probabiliste est environ $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,61}& \mathrm{0,39}\end{array}\right)$.

   3. Déterminer l'état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ de la répartition des clients des entreprises A et B. Interpréter le résultat.

partie b

Lors d'une campagne de marketing l'entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l'entreprise 0,80 € par stylo et 1,20 € par porte-clés distribué.
À la fin de la journée l'entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 €.
On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués.

1. Écrire un système traduisant cette situation.

2. Montrer que le système précédent est équivalent à $R\times X=T$ où $R=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ \mathrm{0,8}& \mathrm{1,2}\end{array}\right)$ et X et T sont des matrices que l'on précisera.

3. Résoudre le système à l'aide de la calculatrice. Interpréter le résultat.

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