Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On s'intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.

A . étude de la zone 1

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On note X la variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1 associe sa taille en cm.

Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne μ et d'écart type σ=30.

La courbe de la densité de probabilité associée à X est représentée ci-contre.


  1. Par lecture graphique, donner la valeur de μ

    Le maximum de la fonction de densité, est atteint pour μ=150


  2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10-2, d'avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.

    Avec la calculatrice, on trouve P(150X210)0,477

    La probabilité arrondie à 10-2, d'avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm est égale 0,48.


  3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.
    On pêche un poisson de l'espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10-2, de pêcher un poisson adulte.

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    La calculatrice permet de déterminer la probabilité P(aXb) quand X suit la loi normale de moyenne 150 et d'écart type 30 : P(x>120)=P(120X150)+P(x150)=0,5+P(120X150)0,841

    La probabilité arrondie à 10-2, de pêcher un poisson adulte est égale à 0,84.


  4. On considère un nombre k strictement plus grand que la valeur moyenne μ. Est-il vrai que P(X<k)<0,5 ? Justifier.

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    Si k>μ alors P(X<k)=P(xμ)+P(μXk)=0,5+P(μXk)

    Si k est un nombre réel strictement plus grand que la valeur moyenne μ alors, P(X<k)>0,5


B . étude de la zone 2

  1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d'une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.

    1. Calculer la fréquence f de poissons malades dans l'échantillon.

      La fréquence observée est f=1550=0,3.


    2. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion p de poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième.

      La fréquence observée est f=0,3 pour un échantillon de taille 50. Nous avons n=50, nf=15 et n(1-f)=35.

      Les conditions d'approximation sont vérifiées d'où l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est I=[0,3-150;0,3+150]. Soit en arrondissant les bornes de l'intervalle au millième :

      Un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion p de poissons malades dans toute la zone 2 est I=[0,159;0,441]


  2. Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l'espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne μ'=205 et d'écart type σ'=40.
    En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d'écart type σ=30, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire Y. Justifier la réponse.

    • Le maximum de la fonction de densité, est atteint pour μ=205 donc la courbe 3 ne convient pas.

    • L'écart type σ'=40 par conséquent, la dispersion autour de la moyenne est plus grande que celle de la courbe donnée à la question 1 qui représente une loi normale d'écart type σ=30. Donc la courbe 2 ne convient pas.

    La courbe 1 représente la densité de probabilité de la variable aléatoire Y.


    Courbe 1Courbe 2Courbe 3
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