On s'intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.
On note X la variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1 associe sa taille en cm.
Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne μ et d'écart type .
La courbe de la densité de probabilité associée à X est représentée ci-contre.
Par lecture graphique, donner la valeur de μ
Le maximum de la fonction de densité, est atteint pour
On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10-2, d'avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.
Avec la calculatrice, on trouve
La probabilité arrondie à 10-2, d'avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm est égale 0,48.
Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.
On pêche un poisson de l'espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10-2, de pêcher un poisson adulte.
La calculatrice permet de déterminer la probabilité quand X suit la loi normale de moyenne 150 et d'écart type 30 :
La probabilité arrondie à 10-2, de pêcher un poisson adulte est égale à 0,84.
On considère un nombre k strictement plus grand que la valeur moyenne μ. Est-il vrai que ? Justifier.
Si alors
Si k est un nombre réel strictement plus grand que la valeur moyenne μ alors,
Certains poissons de la zone 2 sont atteints d'une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.
Calculer la fréquence f de poissons malades dans l'échantillon.
La fréquence observée est .
Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion p de poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième.
La fréquence observée est pour un échantillon de taille 50. Nous avons , et .
Les conditions d'approximation sont vérifiées d'où l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est . Soit en arrondissant les bornes de l'intervalle au millième :
Un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion p de poissons malades dans toute la zone 2 est
Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l'espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne et d'écart type .
En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d'écart type , dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire Y. Justifier la réponse.
Le maximum de la fonction de densité, est atteint pour donc la courbe 3 ne convient pas.
L'écart type par conséquent, la dispersion autour de la moyenne est plus grande que celle de la courbe donnée à la question 1 qui représente une loi normale d'écart type . Donc la courbe 2 ne convient pas.
La courbe 1 représente la densité de probabilité de la variable aléatoire Y.
Courbe 1 | Courbe 2 | Courbe 3 |
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