sujet : Polynésie 2013

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes

Alors qu'une entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente B est autorisée à s'implanter.
Lors de l'ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d'accès B, l'entreprise A possède 90% du marché et l'entreprise B possède le reste du marché.
Dans cet exercice, on suppose que chaque année, chaque internaute est client d'une seule entreprise A ou B.
On observe à partir de 2010 que chaque année, 15% des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise B, et 10% des clients de l'entreprise B deviennent des clients de l'entreprise A.
Pour tout entier naturel n, on note $a_n$ la probabilité qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l'entreprise A pour l'année 2010 + n, et $b_n$, la probabilité pour que son fournisseur d'accès en 2010 + n soit l'entreprise B.
On note $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 2010 + n et on a ainsi $a_0=\mathrm{0,9}$ et $b_0=\mathrm{0,1}$.

partie a

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

2. 1. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.

      La matrice de transition M de ce graphe telle que $\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,85}& \mathrm{0,15}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$.

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   2. Montrer qu'en 2013, l'état probabiliste est environ $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,61}& \mathrm{0,39}\end{array}\right)$.

      L'état $P_3$ en 2013 est : $$\begin{array}{ccc}{P}_3=P_0\times M^3& \text{Soit}& P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,85}& \mathrm{0,15}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)}^3\hfill \end{array}$$

      En 2013, l'état probabiliste est $P_3\approx \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,61}& \mathrm{0,39}\end{array}\right)$.

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   3. Déterminer l'état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ de la répartition des clients des entreprises A et B. Interpréter le résultat.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ vérifiant : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,85}& \mathrm{0,15}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,85}a+\mathrm{0,1}b& \mathrm{0,15}a+\mathrm{0,9}b\end{array}\right)\end{array}$$

      D'où a et b vérifient la relation $a=\mathrm{0,85}a+\mathrm{0,1}b$. Comme d'autre part, $a+b=1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{ccccccc}\{\begin{array}{c}a=\mathrm{0,85}a+\mathrm{0,1}b\hfill \\ a+b=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,15}a-\mathrm{0,1}b=0\hfill \\ a+b=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,25}a=\mathrm{0,1}\hfill \\ a+b=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}a=\mathrm{0,4}\hfill \\ b=\mathrm{0,6}\hfill \end{array}\end{array}$$

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$. Sur le long terme, d'une année sur l'autre, l'entreprise A possèdera 40% du marché et l'entreprise B 60% du marché.

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partie b

Lors d'une campagne de marketing l'entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l'entreprise 0,80 € par stylo et 1,20 € par porte-clés distribué.
À la fin de la journée l'entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 €.
On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués.

1. Écrire un système traduisant cette situation.

   s et c sont solutions du système : $\{\begin{array}{c}s+c=550\hfill \\ \mathrm{0,8}s+\mathrm{1,2}c=540\hfill \end{array}$

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2. Montrer que le système précédent est équivalent à $R\times X=T$ où $R=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ \mathrm{0,8}& \mathrm{1,2}\end{array}\right)$ et X et T sont des matrices que l'on précisera.

   Le système $\{\begin{array}{c}s+c=550\hfill \\ \mathrm{0,8}s+\mathrm{1,2}c=540\hfill \end{array}$ peut se traduire matriciellement par $R\times X=T$ où $R=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ \mathrm{0,8}& \mathrm{1,2}\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}s\\ c\end{array}\right)$ et $T=\left(\begin{array}{c}550\\ 540\end{array}\right)$

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3. Résoudre le système à l'aide de la calculatrice. Interpréter le résultat.

   À l'aide de la calculatrice on établit que la matrice R est inversible et que $R^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -\mathrm{2,5}\\ -2& \mathrm{2,5}\end{array}\right)$. $$\begin{array}{ccc}R\times X=T& \iff & R^{-1}\times R\times X=R^{-1}\times T\hfill \\ & \iff & X=R^{-1}\times T\hfill \\ & \text{Soit}& \left(\begin{array}{c}s\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -\mathrm{2,5}\\ -2& \mathrm{2,5}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}550\\ 540\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}300\\ 250\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

   L'entreprise B a distribué 300 stylos et 250 porte-clés.

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