sujet : Polynésie 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Montrer que le taux d'évolution annuel moyen des montants à l'exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est $-\mathrm{8,06}\%$ arrondi au centième.

   Soit t% le taux d'évolution annuel moyen des montants à l'exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 :$$\begin{array}{ccc}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^3={\displaystyle \frac{63182}{81295}}& \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{63182}{81295}}\right)}^{\frac{1}{3}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{63182}{81295}}\right)}^{\frac{1}{3}}-1\hfill \\ & \text{soit}& t\approx -\mathrm{8,06}\hfill \end{array}$$

   Entre 2008 et 2011, les montants des produits perliers ont baissé d'environ 8,06% par an.

   ---

2. On admet pour la suite de l'exercice, que la production continuera à baisser de 8% par an à partir de 2011.

   On considère l'algorithme suivant :

   Entrée	Saisir un nombre positif P
   Traitement :	Affecter la valeur 0 à la variable N {initialisation} Affecter la valeur 63 182 à U {initialisation}
   	Tant que U > P Affecter la valeur N + 1 à N Affecter la valeur 0,92 × U à U Fin de Tant que Affecter la valeur N + 2011 à N
   Sortie	Afficher N

   Si on saisit P = 50 000 en entrée, qu'obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles.

   Cet algorithme permet de déterminer l'année à partir de laquelle le montant des produits perliers sera inférieur à la valeur P saisie.

   • L'initialisation « Affecter la valeur 63 182 à U » correspond au montant en milliers d'euros réalisé en 2011.
   • Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 8% par an est 0,92. Les valeurs successives des montants sont obtenues par l'affectation « Affecter la valeur 0,92 × U à U ».
   • La condition de poursuite de la boucle Tant que est U > P. Si on saisit P = 50 000 en entrée, la boucle se termine donc quand U ⩽ 50 000.

   En calculant les valeurs successives de la suite $\left(U_N\right)$ définie par $U_0=\mathrm{63\; 182}$ et pour tout entier N, $U_{N+1}=\mathrm{0,92}\times U_n$ on trouve $N=3$.

   Les montants des produits perliers seront inférieurs à 50 000 milliers d'euros à partir de 2014.

   ---

3. Pour prévoir les montants réalisés à l'exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. On note $u_0$ le montant en 2011, en milliers d'euros, et $u_n$ le montant en 2011 + n , en milliers d'euros. On a donc $u_0=\mathrm{63\; 182}$ et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.

   1. Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

      Le montant des produits perliers baisse de 8% par an d'où $$\begin{array}{ccc}{u}_{n+1}=\left(1-{\displaystyle \frac{8}{100}}\right)\times u_n& \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,92}\times u_n\end{array}$$

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92.

      ---

   2. Exprimer, pour tout entier naturel n, $u_n$ en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme $u_0=63182$ donc pour tout entier naturel n, $u_n=63182\times {\mathrm{0,92}}^n$.

      ---

   3. Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d'euros.

      $$u_5=63182\times {\mathrm{0,92}}^5\approx \mathrm{41642,1}$$

      Le montant prévu pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 est d'environ 41 642 milliers d'euros.

      ---

4. Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l'on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu'à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d'euros.

   La somme des 10 termes consécutifs de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ est :$$S=63182\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{0,92}}^{10}}{1-\mathrm{0,92}}}\approx 446706$$

   Le montant cumulé des produits perliers exportés que l'on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu'à 2020 (comprise) est d'environ 446  706 milliers d'euros.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.