sujet : Polynésie 2013

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

1. 1. Quelle est la probabilité de l'événement : le client interrogé a choisi la formule « avion + hôtel » et l'option « visites guidées » ?

      12% des clients ont choisi la formule « avion + hôtel » et l'option « visites guidées » donc $P\left(A\cap V\right)=\mathrm{0,12}$

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   2. Calculer la probabilité $P_A\left(V\right)$.

      $$\begin{array}{ccc}{P}_A\left(V\right)={\displaystyle \frac{P\left(A\cap V\right)}{P\left(A\right)}}& \text{Soit}& P_A\left(V\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,4}}}=\mathrm{0,3}\end{array}$$

      La probabilité qu'un client ayant choisi la formule « avion + hôtel » prenne l'option « visites guidées » est $P_A\left(V\right)=\mathrm{0,3}$.

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   3. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

2. 1. Montrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l'option « visites guidées » est égale à 0,42.

      Les évènements A et V sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(V\right)=P\left(A\cap V\right)+P\left(T\cap V\right)$$

      Or : $$\begin{array}{ccc}P\left(T\cap V\right)=P_T\left(V\right)\times P\left(T\right)& \text{soit}& P\left(T\cap V\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,3}\end{array}$$

      D'où $$P\left(V\right)=\mathrm{0,12}+\mathrm{0,3}=\mathrm{0,42}$$

      La probabilité pour que le client interrogé ait choisi l'option « visites guidées » est égale à 0,42.

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   2. Calculer la probabilité pour que le client interrogé ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option « visites guidées ». Arrondir le résultat au millième.

      $$\begin{array}{ccc}P\left(A\cap \overline{V}\right)=P_A\left(\overline{V}\right)\times P\left(A\right)& \text{soit}& P\left(A\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,28}\end{array}$$

      D'où $$\begin{array}{ccc}{P}_{\overline{V}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(A\cap \overline{V}\right)}{P\left(\overline{V}\right)}}& \text{soit}& P_{\overline{V}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{1-\mathrm{0,42}}}\approx \mathrm{0,483}\end{array}$$

      La probabilité pour que le client interrogé ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option « visites guidées » est égale à 0,483.

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3. L'agence pratique les prix (par personne) suivants :

   • Formule « avion + hôtel » : 390 €
   • Formule « train + hôtel » : 510 €
   • Option « visites guidées » : 100 €

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   Quel montant du chiffre d'affaires l'agence de voyage peut-elle espérer obtenir avec 50 clients qui choisissent un week-end à Londres ?

   Soit C le montant en euros du coût d'un week-end à Londres en fonction de son choix. Notons dans la marge de l'arbre de probabilités, le montant en euros du coût dans chaque situation :

   Ainsi,

   • $P\left(A\cap V\right)=\mathrm{0,12}$ d'où $P\left(C=490\right)=\mathrm{0,12}$.
   • $P\left(A\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,28}$ d'où $P\left(C=390\right)=\mathrm{0,28}$.
   • $P\left(T\cap V\right)=\mathrm{0,3}$ d'où $P\left(C=610\right)=\mathrm{0,3}$.
   • $P\left(T\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,3}$ d'où $P\left(C=510\right)=\mathrm{0,3}$.

   D'où le tableau suivant donnant la loi de probabilité du montant C en euros pour un week-end à Londres :

   $c_i$	390	490	510	610
   $P\left(C=c_i\right)$	0,28	0,12	0,3	0,3

   L'espérance mathématique de cette loi est :$$\mathrm{E}=390\times \mathrm{0,28}+490\times \mathrm{0,12}+510\times \mathrm{0,3}+610\times \mathrm{0,3}=504$$

   Le chiffre d'affaires que l'agence de voyage peut espérer réaliser est : $504\times 50=\mathrm{25\; 200}$

   L'agence de voyage peut-elle espérer réaliser un chiffre d'affaires de 25 200 €.

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