sujet : Antilles Guyane 2014

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

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1. La somme $S=1+2+2^2+2^3+\dots +2^{30}$ est égale à :

   S est la somme des 31 premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=2$. D'où $$S=1+2+2^2+2^3+\dots +2^{30}=1\times {\displaystyle \frac{1-2^{31}}{1-2}}=2^{31}-1$$

   a.   $-1+2^{31}$

   b.   $1-2^{31}$

   c.   $-1+2^{30}$

   d.   $1-2^{30}$

2. L'équation $-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+3x=0$ admet sur $ℝ$ :

   Pour tout réel x, $$-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+3x=x\left(-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+x+3\right)$$

   Cherchons les racines éventuelles du polynôme du second degré $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+x+3$ avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, $b=1$ et $c=3$.
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1+4=5\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme du second degré a deux racines distinctes. Nous pouvons en déduire que l'équation $-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+3x=0$ admet sur $ℝ$ trois solutions.

   a.   la solution $-2$

   b.   trois solutions distinctes

   c.   aucune solution

   d.   une unique solution

3. Soit la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\ln x$. Une primitive de f est la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par :

   • Les réponses a et d sont manifestement fausses.

   • Soit G la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)=x\ln x$. Sa dérivée est la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $G\prime \left(x\right)=\ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln x+1$.
     Ainsi, pour tout réel x strictement positif $G\prime \left(x\right)\ne f\left(x\right)$ donc G n'est pas une primitive de la fonction f

   • Soit F la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=x\ln x-x$. Sa dérivée est la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $F\prime \left(x\right)=\ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1=\ln x$.
     Ainsi, pour tout réel x strictement positif $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   a.   ${\displaystyle \frac{1}{x}}$

   b.   $x\ln x$

   c.   $x\ln x-x$

   d.   ${\mathrm{e}}^x$

4. Les nombres entiers n solutions de l'inéquation ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n<\mathrm{0,003}$ sont tous les nombres entiers n tels que :

   $$\begin{array}{ccc}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n<\mathrm{0,003}& \iff & \ln {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n<\ln \mathrm{0,003}\hfill \\ & \iff & n\ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)<\ln \mathrm{0,003}\hfill \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,003}}{\ln \mathrm{0,5}}}\approx \mathrm{8,3}\hfill \end{array}$$

   a.   $n⩾8$

   b.   $n⩾9$

   c.   $n⩽8$

   d.   $n⩽9$

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