sujet : Antilles Guyane 2014

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

1. 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et C où B correspond à l'état « consommateur bio ».

      90 % des clients « consommateur bio » maintiennent cette pratique l'année suivante d'où $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,9}$ et $p_{B_n}\left(C_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}$.
      15 % des clients n'ayant pas le profil de « consommateur bio » entrent dans la catégorie « consommateur bio » l'année suivante d'où $p_{C_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,15}$ et $p_{C_n}\left(C_{n+1}\right)=\mathrm{0,85}$.

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

   2. Donner $P_0$ l'état probabiliste en 2013 et la matrice M de transition correspondant à ce graphe, les sommets B et C étant classés dans cet ordre.

      En 2013, 20 % des clients ont le profil « consommateur bio » d'où $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$

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      La matrice de transition M de ce graphe telle que $\left(\begin{array}{cc}{b}_{n+1}& c_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{b}_n& c_n\end{array}\right)\times M$ est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}\hfill & \mathrm{0,1}\hfill \\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)$.

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   3. On donne la matrice $M^2$ : $M^2=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,825}& \mathrm{0,175}\\ \mathrm{0,2625}& \mathrm{0,7375}\end{array}\right)$. En précisant la méthode de calcul, déterminer la probabilité que le client choisi en 2015 soit un « consommateur bio ».

      $$\begin{array}{ccc}{P}_2=P_0\times M^2& \text{Soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,825}& \mathrm{0,175}\\ \mathrm{0,2625}& \mathrm{0,7375}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,375}& \mathrm{0,625}\end{array}\right)\end{array}$$

      La probabilité qu'en 2015, un client soit un « consommateur bio » est égale à 0,375.

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   4. Déterminer l'état stable $\left(\begin{array}{cc}b& c\end{array}\right)$ du graphe probabiliste.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}b& c\end{array}\right)$ avec $b+c=1$ et vérifiant : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}b& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}b& c\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}b& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}b+\mathrm{0,15}c& \mathrm{0,1}b+\mathrm{0,85}c\end{array}\right)\end{array}$$

      D'où b et c vérifient la relation $b=\mathrm{0,9}b+\mathrm{0,15}c$ . Comme d'autre part, $b+c=1$ on en déduit que b et c sont solutions du système : $$\begin{array}{ccccccc}\{\begin{array}{c}b=\mathrm{0,9}b+\mathrm{0,15}c\hfill \\ b+c=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,1}b-\mathrm{0,15}c=0\hfill \\ b+c=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,25}b=\mathrm{0,15}\hfill \\ b+c=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}b=\mathrm{0,6}\hfill \\ c=\mathrm{0,4}\hfill \end{array}\end{array}$$

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$ .

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2. Le directeur du supermarché affirme que, dans un futur proche, plus de la moitié de sa clientèle aura le profil de « consommateur bio ».

   1. Recopier et compléter l'algorithme suivant qui doit permettre de déterminer le nombre minimal d'années pour que l'affirmation du directeur soit vérifiée.

      variables :	N un nombre entier naturel non nul B un nombre réel
      traitement :	Affecter à N la valeur 0 Affecter à B la valeur 0,2 Affecter à C la valeur 0,8 Tant que $B⩽\mathrm{0,5}$ Affecter à B la valeur $\mathrm{0,9}\times B+\mathrm{0,15}\times C$ Affecter à C la valeur $1-B$ Affecter à N la valeur $N+1$ Fin Tant que
      Sortie :	Afficher N

   2. Déterminer le nombre minimal d'années recherché en expliquant la démarche.

      • méthode 1 : calcul des états probabilistes successifs

        $$\begin{array}{l}{P}_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)}^3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,43125}& \mathrm{0,56875}\end{array}\right)\\ P_4=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)}^4\approx \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,473}& \mathrm{0,527}\end{array}\right)\\ P_5=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)}^5\approx \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,505}& \mathrm{0,495}\end{array}\right)\end{array}$$

        En 2018, plus de la moitié de la clientèle aura le profil de « consommateur bio ».

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      • méthode 2 : utilisation de l'algorithme

        On programme l'algorithme précédent sur la calculatrice, le résultat affiché est : 5

        En 2018, plus de la moitié de la clientèle aura le profil de « consommateur bio ».

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      • méthode 3 : utilisation d'une suite

        Pour tout nombre entier n, $$\left(\begin{array}{cc}{b}_{n+1}& c_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{b}_n& c_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}{b}_n+\mathrm{0,15}{c}_n& \mathrm{0,1}{b}_n+\mathrm{0,85}{c}_n\end{array}\right)$$

        Soit pour tout nombre entier n, $b_{n+1}=\mathrm{0,9}{b}_n+\mathrm{0,15}{c}_n$ avec $b_n+c_n=1$. D'où pour tout nombre entier n, $$b_{n+1}=\mathrm{0,9}{b}_n+\mathrm{0,15}\times \left(1-b_n\right)=\mathrm{0,75}{b}_n+\mathrm{0,15}$$

        L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$ donc la suite $\left(b_n\right)$ converge vers 0,6

        Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier n par $v_n=b_n-\mathrm{0,6}$. Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& b_{n+1}-\mathrm{0,6}\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{b}_n+\mathrm{0,15}-\mathrm{0,6}\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{b}_n-\mathrm{0,45}\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}\times \left(b_n-\mathrm{0,6}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{v}_n\hfill \end{array}$$

        $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,75}$ et de premier terme $v_0=\mathrm{0,2}-\mathrm{0,6}=-\mathrm{0,4}$. Donc pour tout entier n, $v_n=-\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,75}}^n$.

        Par conséquent, pour tout entier n, $b_n=\mathrm{0,6}-\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,75}}^n$.

        Déterminons le plus petit entier naturel n tel que : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}-\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,75}}^n>\mathrm{0,5}& \iff & {\mathrm{0,75}}^n<\mathrm{0,25}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,75}}^n\right)<\ln \mathrm{0,25}\hfill \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,75}<\ln \mathrm{0,25}\hfill \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,25}}{\ln \mathrm{0,75}}}\approx \mathrm{4,8}\hfill \end{array}$$

        En 2018, plus de la moitié de la clientèle aura le profil de « consommateur bio ».

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