sujet : Antilles Guyane 2014

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Reproduire l'arbre de probabilité puis le compléter.

2. Montrer que la probabilité $P\left(O\right)$ de l'évènement O est égale à 0,0268.

   Les évènements M et O sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(O\right)=P\left(O\cap M\right)+P\left(O\cap K\right)$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& P\left(O\cap M\right)=P_M\left(O\right)\times P\left(M\right)& \text{Soit}& P\left(O\cap M\right)=\mathrm{0,006}\times \mathrm{0,74}=\mathrm{0,00444}\hfill \\ \text{et}& P\left(O\cap K\right)=P_K\left(O\right)\times P\left(K\right)& \text{Soit}& P\left(O\cap K\right)=\mathrm{0,086}\times \mathrm{0,26}=\mathrm{0,02236}\hfill \end{array}$$

   On obtient alors $$P\left(O\right)=\mathrm{0,00444}+\mathrm{0,02236}=\mathrm{0,0268}$$

   Ainsi, la probabilité que la personne choisie pratique l'ostéopathie est égale à 0,0268.

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3. Un patient vient de suivre une séance d'ostéopathie chez un praticien d'une des deux catégories.
   Déterminer la probabilité que le praticien soit un kinésithérapeute. Donner le résultat arrondi au centième.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_O\left(K\right)={\displaystyle \frac{P\left(O\cap K\right)}{P\left(O\right)}}& \text{Soit}& P_O\left(K\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,02236}}{\mathrm{0,0268}}}\approx \mathrm{0,83}\end{array}$$

   La probabilité qu'un praticien ostéopathie soit kinésithérapeute est 0,83.

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partie b

On note T la variable aléatoire associant à chaque patient la durée de visite, en minutes, chez un médecin-ostéopathe. On admet que T suit la loi normale d'espérance 30 et d'écart-type 10.
Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.

1. Déterminer la probabilité $P\left(20⩽T⩽40\right)$.

   Si X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ alors $P\left(\mu -\sigma ⩽X⩽\mu +\sigma \right)\approx \mathrm{0,683}$ donc :

   $P\left(20⩽T⩽40\right)\approx \mathrm{0,68}$

2. Déterminer la probabilité qu'une visite dure plus de trois quart d'heure.

   La calculatrice permet d'obtenir la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale : $$\begin{array}{ccc}P\left(T⩾45\right)& =& P\left(T⩾30\right)-P\left(30⩽T⩽45\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(30⩽T⩽45\right)\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,067}\hfill \end{array}$$

   La probabilité qu'une visite dure plus de trois quart d'heure est, arrondie au centième près, 0,07.

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partie c

On rappelle qu'en France métropolitaine 0,6 % des médecins pratiquent l'ostéopathie. Une région compte 47000 médecins dont 164 médecins-ostéopathes.
On note I l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de médecins ostéopathes de la région.

1. 1. Vérifier que les conditions d'utilisation de cet intervalle sont remplies.

      Nous avons $n=47000$, $n\times p=47000\times \mathrm{0,006}=282$ et $n\times \left(1-p\right)=47000\times \mathrm{0,994}=46718$.

      Ainsi, $n⩾30$, $n\times p⩾5$ et $n\times \left(1-p\right)⩾5$. les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

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   2. Justifier que $I=\left[\mathrm{0,0053};\mathrm{0,0067}\right]$, les bornes ayant été arrondies à ${10}^{-4}$ près.
      Peut-on considérer que pour la pratique de l'ostéopathie par les médecins, cette région est représentative, privilégiée ou défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine ? Justifier la réponse.

      L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,006}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,006}\times \mathrm{0,994}}{47000}}};\mathrm{0,006}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,006}\times \mathrm{0,994}}{47000}}}\right]\end{array}$$

      Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-4}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de médecins ostéopathes de la région est $I=\left[\mathrm{0,0053};\mathrm{0,0067}\right]$.

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      La fréquence de médecins ostéopathes de la région est $f={\displaystyle \frac{164}{47000}}\approx \mathrm{0,0035}$

      La fréquence de médecins ostéopathes de la région n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, cette région n'est pas représentative de la situation en France métropolitaine. Elle est défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine.

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