sujet : Antilles Guyane 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8 % de ses précédent abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés.
En 2013 le nombre d'abonnés est de 20 millions.
On s'intéresse au nombre d'abonnés, en millions, pour l'année 2013 + n. En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel n, par : $$\{\begin{array}{c}{u}_0=20\hfill \\ u_{n+1}=\mathrm{0,92}{u}_n+3\hfill \end{array}$$ Le terme $u_n$ donne une estimation du nombre d'abonnés pour l'année 2013 + n.

partie a

1. 1. En utilisant cette modélisation, l'opérateur décide d'arrondir les résultats à ${10}^{-3}$.
      À quoi correspond ce choix d'arrondi ?

      $u_n$ est le nombre de millions d'abonnés. En arrondissant les résultats à ${10}^{-3}$ près, on obtient une estimation du nombre de milliers d'abonnés.

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   2. Déterminer le nombre d'abonnés en 2014 et en 2015.

      $$\begin{array}{l}{u}_1=20\times \mathrm{0,92}+3=\mathrm{21,4}\\ u_2=\mathrm{21,4}\times \mathrm{0,92}+3=\mathrm{22,688}\end{array}$$

      En 2014 le nombre d'abonnés est de 21,4 millions et en 2015 il est de 22,688 millions.

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2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-\mathrm{37,5}$ pour tout entier naturel n.
   Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92. Préciser son premier terme.

   $v_0=u_0-\mathrm{37,5}$. Soit $v_0=20-\mathrm{37,5}=-\mathrm{17,5}$. Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-\mathrm{37,5}\hfill \\ & =& \mathrm{0,92}{u}_n+3-\mathrm{37,5}\hfill \\ & =& \mathrm{0,92}{u}_n-\mathrm{34,5}\hfill \\ & =& \mathrm{0,92}\times \left(u_n-\mathrm{37,5}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,92}{v}_n\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,92}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92 dont le premier termes est $v_0=-\mathrm{17,5}$.

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3. Exprimer $v_n$ en fonction de n.
   En déduire que, pour tout entier naturel n$u_n=-\mathrm{17,5}\times {\mathrm{0,92}}^n+\mathrm{37,5}$.

   $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme $v_0=-\mathrm{17,5}$ donc pour tout entier naturel n, $v_n=-\mathrm{17,5}\times {\mathrm{0,92}}^n$.

   Comme pour tout tout entier naturel n, $v_n=u_n-\mathrm{37,5}\iff u_n=v_n+\mathrm{37,5}$, on en déduit que :

   pour tout entier naturel n, $u_n=-\mathrm{17,5}\times {\mathrm{0,92}}^n+\mathrm{37,5}$.

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4. Déterminer le nombre d'abonnés en millions en 2020. Arrondir les résultats à ${10}^{-3}$.

   $$u_7=-\mathrm{17,5}\times {\mathrm{0,92}}^7+\mathrm{37,5}\approx \mathrm{27,738}$$

   En 2020 le nombre d'abonnés sera d'environ 27,738 millions.

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5. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

   $0<\mathrm{0,92}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,92}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }-\mathrm{17,5}\times {\mathrm{0,92}}^n+\mathrm{37,5}=\mathrm{37,5}$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\mathrm{37,5}$.

   La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 37,5.

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6. L'opérateur peut-il espérer dépasser 30 millions d'abonnés ?

   Dire que la $\left(u_n\right)$ converge vers 37,5 signifie qu'il existe un rang n à partir duquel $u_n$ est aussi proche que l'on veut de 37,5.

   L'opérateur peut espérer dépasser 30 millions d'abonnés.

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partie b

Compte tenu des investissements, l'opérateur considère qu'il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d'abonnés dépassera 25 millions.

1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer le nombre d'années nécessaires à partir de 2013 pour que l'opérateur fasse des bénéfices.

   variables :	N un nombre entier naturel non nul U un nombre réel
   traitement :	Affecter à U la valeur 20 Affecter à N la valeur 0 Tant que $U⩽25$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,92}\times U+3$ Affecter à N la valeur $N+1$ Fin Tant que
   Sortie :	Afficher N

2. En quelle année l'opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois ?

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{cccc}{u}_n>25& \iff & -\mathrm{17,5}\times {\mathrm{0,92}}^n+\mathrm{37,5}>25\hfill & \\ & \iff & -\mathrm{17,5}\times {\mathrm{0,92}}^n>-\mathrm{12,5}\hfill & \\ & \iff & {\mathrm{0,92}}^n<{\displaystyle \frac{5}{7}}\hfill & \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,92}}^n\right)<\ln {\displaystyle \frac{5}{7}}\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\hfill \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,92}<\ln {\displaystyle \frac{5}{7}}\hfill & \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\hfill \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{5}{7}}}{\ln \mathrm{0,92}}}\hfill & \ln \mathrm{0,92}<0\hfill \end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{5}{7}}}{\ln \mathrm{0,92}}}\approx \mathrm{4,04}$ alors, le plus petit entier n tel que $u_n>25$ est 5.

   C'est en 2018 que l'opérateur fera des bénéfices pour la première fois.

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