sujet : Antilles Guyane 2014

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique et vend aux écoles primaires des lots constitués de cahiers et de stylos.

partie a

L'entreprise possède une machine qui peut fabriquer au maximum 1500 lots par semaine. Le coût total de fabrication hebdomadaire est modélisé par la fonction g définie sur $\left[0;15\right]$ par $g\left(x\right)=18x+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-1}$.
Lorsque x représente le nombre de centaines de lots, $g\left(x\right)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.

1. Calculer $g\prime \left(x\right)$ où $g\prime$ désigne la fonction dérivée de g.

   $g\prime$ est la fonction définie sur $\left[0;15\right]$ par $g\prime \left(x\right)=18+\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-1}$.

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2. Justifier que g est strictement croissante sur $\left[0;15\right]$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-1}>0$ donc pour tout réel x, $18+\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-1}>0$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;15\right]$, $g\prime \left(x\right)>0$ donc la fonction g est strictement croissante sur $\left[0;15\right]$.

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partie b

L'entreprise acquiert une nouvelle machine qui permet d'obtenir un coût total de fabrication hebdomadaire modélisé par la fonction f définie sur $\left[0;15\right]$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-1}-x^2+20x+20$.
Lorsque x représente le nombre de centaines de lots, $f\left(x\right)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.
On note $C_g$ et $C_f$ les représentations graphiques respectives des fonctions g et f.

1. Par lecture graphique, donner un encadrement d'amplitude 100 du nombre k de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production.

   Par lecture graphique, le nombre de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production est compris entre 500 et 600.

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2. On cherche à préciser le résultat précédent par le calcul.

   1. Montrer que la détermination de k conduit à résoudre l'inéquation $-x^2+2x+20⩽0$.

   2. Résoudre cette inéquation sur l'intervalle $\left[0;15\right]$.

   3. En déduire le nombre entier de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production.

   $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)⩽g\left(x\right)& \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-1}-x^2+20x+20⩽18x+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-1}\hfill \\ & \iff & -x^2+2x+20⩽0\hfill \end{array}$$

   Étudions le signe du polynôme du second degré $-x^2+2x+20$ avec $a=-1$, $b=2$ et $c=20$.
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4+80=84\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-2-2\sqrt{21}}{-2}}=1+\sqrt{21}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-2+2\sqrt{21}}{-2}}=1-\sqrt{21}\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $-x^2+2x+20$ sur l'intervalle $\left[0;15\right]$ :

   x	0	$1+\sqrt{21}$		15
   Signe de $-x^2+2x+20$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   Ainsi, $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ sur $\left[1+\sqrt{21};15\right]$.

   Comme $1+\sqrt{21}\approx \mathrm{5,583}$, c'est à partir de 559 lots que cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production.

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3. On rappelle que le coût marginal obtenu avec cette nouvelle machine est donné par la fonction $f\prime$.
   Déterminer la valeur moyenne, arrondie à l'euro, du coût marginal lorsqu'on fabrique entre 5 centaines et 8 centaines de lots.
   Rappel : la valeur moyenne d'une fonction h sur $\left[a;b\right]$ est donnée par ${\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}h\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Comme $f\prime$ est la dérivée de la fonction f alors, f est une primitive de $f\prime$ sur $\left[1+\sqrt{21};15\right]$.

   La valeur moyenne du coût marginal lorsqu'on fabrique entre 5 centaines et 8 centaines de lots est $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{8-5}}{\displaystyle {\int }_5^{8}f\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\times \left[f\left(8\right)-f\left(5\right)\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\times \left[\left({\mathrm{e}}^3-64+160+20\right)-\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}-25+100+20\right)\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3-{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}+21}{3}}\approx \mathrm{12,2}\hfill \end{array}$$

   La valeur moyenne, arrondie à l'euro, du coût marginal lorsqu'on fabrique entre 5 centaines et 8 centaines de lots est de 12 euros.

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